Đăng ký

Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x \cr} \)

Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) nên: \(\,\,f\left( x \right) \le 1\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( 0 \right) = 1\). Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = 1\)

\(*\,\,\,f\left( x \right) \ge {1 \over 2}\) với mọi \(x \in {\mathbb{R}},f\left( {{\pi  \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)

Vậy \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = {1 \over 2}\).


shoppe