Bài 22 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 22. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.

b) \({\cos ^2}\alpha  + co{s^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có \(A\left( {a;0;0} \right)\,,\,B\left( {0;b;0} \right)\,,\,C\left( {0;0;c} \right)\,\,\left( {a > 0,b > 0,c > 0} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - a;b;0} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - a;0;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = {a^2} > 0 \Rightarrow \cos A = {{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \over {AB.AC}} > 0\)

\( \Rightarrow \) A là góc nhọn.

Tương tự các góc B, C của tam giác ABC cũng nhọn.
b) Mp(ABC) có phương trình \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {{1 \over a};{1 \over b};{1 \over c}} \right)\).
Mp(OBC) \( \equiv \) Mp(Oyz) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa mp(ABC) và mp(OBC) thì:

\({\cos ^2}\alpha  = {\left( {{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}}} \right)^2} = {{{1 \over {{a^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\)

Tương tự \({\cos ^2}\beta  = {{{1 \over {{b^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\) và \({\cos ^2}\gamma  = {{{1 \over {{c^2}}}} \over {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}}}\)

Từ đó suy ra \({\cos ^2}\alpha  + co{s^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)