Đăng ký

Bài 19 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( {\alpha '} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

\(\eqalign{
& a)\,\,\left( \alpha \right):2x - y + 4z + 5 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):3x + 5y - z - 1 = 0 \cr
& b)\,\,\left( \alpha \right):2x + y - 2z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):6x - 3y + 2z - 2 = 0 \cr
& c)\,\,\left( \alpha \right):x + 2y + z - 1 = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):x + 2y + z + 5 = 0 \cr} \)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& {{\left| {2x - y + 4z + 5} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 16} }} = {{\left| {3x + 5y - z - 1} \right|} \over {\sqrt {9 + 25 + 1} }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {2x - y + 4z + 5} \right| = \sqrt 3 \left| {3x + 5y - z - 1} \right| \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 5 \left( {2x - y + 4z + 5} \right) = \pm \sqrt 3 \left( {3x + 5y - z - 1} \right) \cr} \)

Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng:

 

\(\eqalign{
& \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 + 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 + \sqrt 3 = 0 \cr
& \left( {2\sqrt 5 + 3\sqrt 3 } \right)x - \left( {\sqrt 5 - 5\sqrt 3 } \right)y + \left( {4\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)z + 5\sqrt 5 - \sqrt 3 = 0 \cr} \)

b) Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {{\left| {2x + y - 2z - 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{\left| {6x - 3y + 2z - 2} \right|} \over {\sqrt {36 + 9 + 4} }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr
7\left( {2x + y - 2z - 1} \right) = - 3\left( {6x - 3y + 2z - 2} \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 4x + 16y - 20z - 1 = 0 \hfill \cr
32x - 2y - 8z - 13 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:

\( - 4x + 16y - 20z - 1 = 0\,\,;\,\,32x - 2y - 8z - 13 = 0\).

c) Điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {{\left| {x + 2y + z - 1} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} = {{\left| {x + 2y + z + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 1} }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5 \hfill \cr
x + 2y + z - 1 = - x - 2y - z - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 \cr} \)

Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : \(x + 2y + z + 2 = 0\).