Bài 2 trang 94 SGK Đại số 10

Đề bài

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1};\)                                       

b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}};\)

c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3};\)                                 

d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1.\)

Hướng dẫn giải

Ta dùng các phương pháp đại số để biến đổi bất phương trình về dạng: f(x) > 0 hoặc f(x) < 0 sau đó ta đi xét dấu của biểu thức f(x), để biết biểu thức f(x) nhận giá trị dương, âm với những giá trị nào của x.

Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất được thể hiện qua bảng sau:

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\) 

 \(\Leftrightarrow f(x) = \frac{2}{x-1}-\frac{5}{2x-1}=\frac{-x+3}{(2x-1)(x-1)}\)\(\leq 0\).

Xét dấu của \(f(x)\) ta được bảng xét dấu:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\\
x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\left( {\frac{1}{2} < 1 < 3} \right)
\end{array}\)

Tập nghiệm của bất phương trình là: 

                                \(T = \left ( \frac{1}{2};1 \right ) ∪ [3; +∞)\).

b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\) 

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - x - 1}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0
\end{array}\).

\(f(x)\) không xác định với \(x = ± 1\). 

Ta có: \(\begin{array}{l}
x = 0\\
x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\
{\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\left( { - 1 < 0 < 1 < 3} \right)
\end{array}\)

Xét dấu của \(f(x)\) ta được bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là:

                      \(T = (-∞; - 1) ∪ (0; 1) ∪ (1; 3)\).

c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3} \)\(\Leftrightarrow  f(x) = \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}-\frac{3}{x+3}\) 

\(\begin{array}{l}
 = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} \\ - \frac{{3x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\
 = \frac{{{x^2} + 7x + 12 + 2{x^2} + 6x - 3{x^2} - 12x}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} \\= \frac{{x + 12}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}<0
\end{array}\)

Bảng xét dấu:

Ta có: \(\begin{array}{l}
x = 0\\
x + 12 = 0 \Leftrightarrow x =  - 12\\
x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\\
x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3
\end{array}\)

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left ( -12;-4 \right ) ∪ (-3; 0)\).

 d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)

\( \Leftrightarrow f(x) = {{{x^2} - 3x + 1} \over {{x^2} - 1}} - 1 = {{{x^2} - 3x + 1 - {x^2} + 1} \over {{x^2} - 1}} \)\(= {{ - 3x + 2} \over {(x - 1)(x + 1)}} < 0\)

Bảng xét dấu:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\
x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left ( -1;\frac{2}{3} \right ) ∪ (1; +∞)\).