Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Đề bài

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) \(y = 4 + 3x - x^2\)  ;    b) \(y ={1 \over 3}x^3\) + \(3x^2-7x - 2\) ;

c) \(y = x^4\) - \(2x^2\) +\( 3\) ;      d) \(y = -x^3\)+ \(x^2\) - \(5\).

Hướng dẫn giải

+) Tìm tập xác định của hàm số.

+) Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x_i (I =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+) Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

+) Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)

Chú ý: Khi kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số ta nhớ sử dụng chữ và chứ không được sử dụng kí hiệu hợp.

Lời giải chi tiết

a) \(y=4+3x-{{x}^{2}}\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Có \(y'=3-2x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3-2x=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right)\)  và nghịch biến trên khoảng \(\left( \frac{3}{2};+\infty  \right).\)

b) \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x-2\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Có \(y'={{x}^{2}}+6x-7\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-7 \\ \end{align} \right..\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-7 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right)\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left( -7;\ 1 \right).\)

c) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\)   

Tập xác định: \(D=R.\)

Có \(y'=4{{x}^{3}}-4x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\ & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -1;\ 0 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right).\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 0;\ 1 \right).\)        

d) \(y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5\)

Tập xác định: \(D=R.\)

Có \(y'=-3{{x}^{2}}+2x=0\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right..\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\frac{2}{3} \right).\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;0 \right)\) và \(\left( \frac{2}{3};+\infty  \right).\)