Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết !!

Câu 1 : Biết $\int_{3}^{8} \frac{d x}{x^{2} + x} = a \ln 2 + b \ln 3$ với a, b, c là các số nguyên. Tính $S = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

A. 4

B. 3

C. 16

D. 9

Câu 2 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{4} - 2 x^{3} + 1}{x^{2}}$ và F(3)=-1. Tìm F(-1)

A. -2

B. $\frac{- 5}{3}$

C. $\frac{- 7}{3}$

D. -1

Câu 3 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2 x + 1 (C)$ ,tiếp tuyến của đồ thị tại x=1 và đường thẳng x=0 thuộc góc phần tư thứ (I),(IV) là

A. 4

B. 3

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{5}{2}$

Câu 4 : Cho $\int_{- 3}^{- 1} f (x) d x = 1; \int_{3}^{0} f (x) d x = - 2$ . Tính $\int_{0}^{- 1} f (x) d x + \int_{- 3}^{3} f (x) d x$

A. -1

B. -3

C. 3

D. 1

Câu 5 : Cho f(x) liên tục trên $[0; 5]$ thỏa mãn $\int_{0}^{5} f (x) d x = 5, \int_{1}^{3} f (x) d x = 1$ , khi đó giá trị của $P = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{3}^{5} f (x) d x$ là:

A. 4

B. -4

C. Không tính được

D. 6

Câu 6 : Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 1$ . Khi đó giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ là:

A. $\frac{1}{2}$

B. 0

C. -1

D. 2

Câu 7 : Cho tích phân $I = \int_{2}^{3} \frac{d x}{x \sqrt{x^{3} + 1}}$ . Xác định 3a+b biết $I = a \ln (29 - 2 \sqrt{27}) + b \ln 3 + a \ln 2$

A. 2

B. 0

C. 1

D. -1

Câu 8 : Có bao nhiêu số $a \in (0; 10 π)$ sao cho $\int_{0}^{a} \sin^{3} x . \sin 2 x s x = \frac{2}{5}$ ?

A. 5

B. 4

C.10

D. 6

Câu 9 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = |x|$ , trục tung, trục hoành và đường thẳng x=1 là:

A. 1

B. 2

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Câu 10 : Cho hàm số $y = f (x) = π \{\begin{cases} x^{2} + 3 khi x \geq 1 \\ 5 - x khi x < 1 \end{cases}$ . Tính $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x$

A. I= $\frac{32}{3}$

B. I=31

C. $\frac{71}{6}$

D. 32

Câu 11 : Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = 2 v à \int_{1}^{2} 2 g (x) d x = 8$ . Khi đó $\int_{1}^{2} [f (x) + g (x)] d x$ bằng:

A. 6

B. 10

C. 18

D. 0

Câu 12 : Biết $F (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (2 x^{2} - 5 x + 2) e^{- x}$ trên $ℝ$ . Giá trị của biểu thức f(F(0)) bằng

A. 9e

B. $- \frac{1}{e}$

C. 3e

D. $20 e^{2}$

Câu 13 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x^{2}} (x^{3} - 4 x)$ . Hàm số $F (x^{2} + x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6

B. 5

C. 3

D. 4

Câu 14 : Biết rằng trên khoảng $(\frac{3}{2}; + \infty)$ hàm số $f (x) = \frac{20 x^{2} - 30 x + 7}{\sqrt{2 x - 3}}$ có một nguyên hàm $F (x) = (a x^{2} + b x + c) \sqrt{2 x - 3}$ , $(a, b, c \in ℤ)$ . Tổng S=a+b+c bằng:

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Câu 15 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $f (2) = 16, \int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} x f' (2 x) d x$

A. 13

B. 12

C. 20

D. 7

Câu 16 : Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(2 x - 3)}^{2}$ thỏa mãn F(0)= $\frac{1}{3}$ Giá trị của biểu thức $\log_{2} [3 F (1) - 2 F (2)]$ bằng:

A. 10

B. -4

C. 4

D. 2

Câu 17 : Cho y=f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2} f (x) d x = 1$ . Giá trị của $\int_{- 2}^{2} \frac{f (x)}{3^{x} + 1} d x$ bằng

A. 1

B. 6

C. 4

D. 3

Câu 18 : Biết $\int_{32}^{128} \frac{1 + \log_{2} x}{({\log^{2}}_{2} x - 3 \log_{2} x) x \ln 2} d x$ $= a \ln 2 + b \ln 5 + c \ln 7$ $(a, b, c \in ℚ)$ . Giá trị của a+b-c bằng

A. 0

B. 1

C. 2

D. $\frac{3}{2}$

Câu 19 : Biết $\int_{1}^{3} \frac{2 + \ln (x + 3)}{{(x + 1)}^{2}} d x$ $= a \ln 2 + b \ln 3 + c$ $(a, b, c \in ℚ)$ . Giá trị 3a-b+2c bằng

A. 7

B. 0

C. -2

D. $- \frac{11}{2}$

Câu 20 : Nếu $\int_{0}^{10} f (z) d z = 17$ và $\int_{0}^{8} f (t) d t = 12$ thì $\int_{8}^{10} - 3 f (x) d x$ bằng:

A. -15

B. 29

C. 15

D. 5

Câu 21 : Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{\tan x}, x = 0, x = \frac{π}{6}$ xung quanh trục Ox.

Câu 22 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \tan^{3} x$ là:

Câu 23 : Nguyên hàm F(x) của hàm $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ thỏa mãn F(1)=3 là:

Câu 24 : Thể tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{1 - x^{2}}, y = 0, x = 0$ khi quay quanh trục Oy là:

Câu 25 : Diện tích hình phẳng được giới hạn như hình vẽ được tính bởi công thức nào sau đây ?

Câu 26 : Đổi biến số $x = \sqrt{3} \tan t$ của tích phân $\int_{\sqrt{3}}^{3} \frac{1}{x^{2} + 3} d x$ , ta được

Câu 27 : Hàm số $F (x) = \log_{2} (1 + x^{2})$ là một nguyên hàm của hàm số

Câu 28 : Giải phương trình $\int_{0}^{x} (6 t^{2} - 3 t + 2) d t = \frac{1}{2} x^{2} + 2$

Câu 29 : Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc $a (t) = t^{2} + 3 t (m / s^{2})$ . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 20s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét ?

Câu 30 : Cho đồ thị hàm số f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô màu) là

Câu 31 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}, y = - x, x = 3$ . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

Câu 32 : Tính giá trị biểu thức $A = \frac{2 I + 1}{I + 3}$ biết $I = \int_{- 2}^{1} |x| d x$

Câu 33 : Tìm giá trị của a để $I = \int_{0}^{a} \frac{5 x + 7}{x^{2} + 3 x + 2} d x = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$

Câu 34 : Số lượng một loại vi khuẩn gây bệnh có trong cơ thể của một người sau thời gian t (ngày) là f(t), trong đó $f' (t) = \frac{10000}{3 t + 1}$ . Một người mắc bệnh do vi khuẩn gây ra. Khi đi khám lần thứ nhất, trong cơ thể của người này có 1000 con vi khuẩn nhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh. Biết rằng nếu trong cơ thể người đó có trên 12000 con vi khuẩn thì người này sẽ ở tình trạng nguy hiểm. Hỏi sau 10 ngày người đó đi khám lại thì trong cơ thể của họ có đang trong tình trạng nguy hiểm không, nếu có thì số lượng vi khuẩn vượt ngưỡng an toàn là bao nhiêu con?

Câu 35 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x e^{x}$ , trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1

Câu 36 : Cho hàm số f(x) = 2mx + lnx. Tìm m để nguyên âm F(x) của f(x) thỏa mãn F(1) = 0 và F(2) = 2 +2ln2

Câu 37 : Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3 - 2 x}$ . Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Chọn đáp án đúng

Câu 38 : Gọi D là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt{\cos x}, y = 0, x = 0 v à x = \frac{π}{4}$ . Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục hoành

Câu 39 : Cho $I = \int_{0}^{_{a}^{π}} \frac{\sin 2 x}{1 + \sin^{2} x} d x$ , với giá trị nguyên nào của a thì $I = \int_{0}^{\frac{π}{a}} \frac{\sin 2 x}{1 + \sin^{2} x} d x = \ln 2$ ?

Câu 40 : Nguyên hàm của hàm số $y = 50 x . e^{\frac{x}{2}}$ trên tập các số thực là

Câu 41 : Một nhà khí tượng học ước tính rằng sau t giờ kể từ 0h đêm, nhiệt độ của thành phố Hà Nội được cho bởi hàm $C (t) = 39 - \frac{3}{4} {(t - 10)}^{2} (^{o} C)$ $v ớ i 0 \leq t \leq 24$ . Nhiệt độ của thành phố từ 6h sáng đến 18h chiều là

Câu 42 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm là $f' (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ và f(1)=1 thì f(5) có giá trị là

Câu 43 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4 x - x^{2}$ và $y = x^{3} - 4$ .

Câu 44 : Cho a,b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol $y = a x^{2}$ và đường thẳng y=-bx . Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc và giá trị của a và b nếu a và b thỏa mãn điều kiện sau:

Câu 45 : Một vật chuyển động theo quy luật s $(t) = \frac{1}{3} t^{3} + 12 t^{2} + 1$ trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động, 8 (mét) là quãng đường vật chuyển động được trong t giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t=10 (giây).

Câu 46 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^{4} + x^{2}$ và $y = 3 x^{2} - 1$

Câu 47 : Biết rằng $x^{3} + \sqrt{x}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Hỏi đa thức $6 x - \frac{1}{4 x \sqrt{x}}$ là gì của hàm số f(x) ?

Câu 48 : Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m/s) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = - 4 t + a (m / s)$ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được 32 mét thì vận tốc a ban đầu bằng bao nhiêu?

Câu 49 : Cho số thực dương a, kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4 (x - a) e^{x}$ , trục hoành và trục tung. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành, tìm a biết $V = 4 π (e^{2} - 5)$ .

Câu 50 : Nguyên hàm của hàm số $y = e^{- 2 x + 1}$ là:

Câu 51 : Tích phân $I = \int_{1}^{2} x \ln x d x$ có giá trị bằng:

Câu 52 : Giả sử f(x) là hàm liên tục trên R và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 53 : F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$ , biết F(0)=1. Tìm F(x).

Câu 54 : Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc am/s². Biết ôtô chuyển động được thêm 30m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 55 : Họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = - \frac{2}{x} + \frac{1}{2^{x}}$ với $x \neq 0$ là:

Câu 56 : Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = x^{2} + 2 \cos 2 x - 3$ thỏa mãn đồ thị của F(x), f(x) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.

Câu 57 : Nếu $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{n} x . \cos x d x = \frac{1}{48}$ thì n bằng:

Câu 58 : Tính tích phân $\int_{0}^{a} \frac{1}{x^{2} - 1} d x$ với a>1, $a \in ℝ$ .

Câu 59 : Hàm số nào sau đây có đạo hàm là $y' = 2^{x} \ln 2 + 3 x^{2} ?$

Câu 60 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{a x}$ (a>0), trục hoành và đường thẳng x=a bằng $k a^{2}, (k \in ℝ)$ . Tính giá trị của tham số k.

Câu 61 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = x \ln x$ , trục hoành, đường thẳng $x = \frac{1}{2}$ . Tính diện tích hình phẳng (H).

Câu 62 : Tìm a để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \frac{3}{x}$ đường thẳng x=1 đường thẳng x=a (a>1) bằng 3.

Câu 63 : Nếu $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x - 3) (x - 4)} d x = \ln (m)$ thì m bằng:

Câu 64 : Cho hình phẳng (H) nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ (IV), được giới hạn bởi các đường $y = (x - 1) e^{x}$ , trục hoành, trục tung. Thể tích V hình tròn xoay sinh bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.

Câu 65 : Biết $\int_{}^{} x \ln (x - 1) d x$ $= \frac{1}{m} x^{2} \ln (1 - x)$ $- \frac{1}{n} \ln (1 - x)$ $- \frac{1}{k} {(x + 1)}^{2} + C$ . Khi đó:

Câu 66 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos (2 x - 3)$ là

Câu 67 : Biết hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên $ℝ$ và f(1)= $e^{2}$ , $\int_{1}^{\ln 2} f' (x) d x = 4 - e^{2}$ Tính f(ln2).

Câu 68 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{x + 1}$ .Tìm F(x) biết F(0)=0.

Câu 69 : Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số y=f(x)=xlnx, (x>0) biết rằng F(1)=2.

Câu 70 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{\ln x}, y = 0, x = 2$ quanh trục Ox là:

Câu 71 : Nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{1 - x}$ là:

Câu 72 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} - x + 1$ và đường thẳng $y = x + 4$ .

Câu 73 : Tính $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{4 - x^{2}} d x$

Câu 74 : Tìm họ nguyên hàm $\int_{}^{} (2 x + 1) e^{x} d x$

Câu 75 : Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt{x}$ và y=x quay quanh trục Ox.

Câu 76 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{2 x} + 1$ , trục hoành, đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2 là

Câu 77 : Cho hình phẳng A giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^{2} v à y = 6 - |x|$ .Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung là:

Câu 78 : Nếu $\int_{}^{} f (x) d x = \ln^{3} x + C$ thì f(x) bằng:

Câu 79 : Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc $v (t) = t^{2} + 10 t$ (m/s) với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là:

Câu 80 : Nguyên hàm của hàm số $y = 2^{x}$ là:

Câu 81 : Cho $\int_{0}^{4} f (x) d x = 2018$ . Tính tích phân của $I = \int_{0}^{2} [f (2 x) + f (4 - 2 x)] d x$ .

Câu 82 : Gọi $F (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(x - 1)}^{2} e^{x}$ . Tính S= a+2b+c:

Câu 83 : Cho số thực m > 1 thỏa mãn $\int_{1}^{m} |2 m - 1| d x = 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 84 : Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chạm dần đều với vận tốc $v (t) = - 2 t + 10 (m / s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

Câu 85 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x} + x^{2}$ là:

Câu 86 : Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx+xlnx là:

Câu 87 : Cho $\int_{0}^{1} \frac{x d x}{{(2 x + 1)}^{2}} = a + b \ln 2 + c \ln 3$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a+b+c bằng:

Câu 88 : Cho hàm số $f (x) = - x^{2} + 3$ và hàm số $g (x) = x^{2} - 2 x - 1$ có đồ thị như hình vẽ.

Câu 89 : $\int \sin x d x = f (x) + C$ khi và chỉ khi

Câu 90 : Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số $y = x^{2019}$ ?

Câu 91 : Cho hàm số $y = x^{3}$ có một nguyên hàm là F(x). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 92 : Hàm số y=F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên $(- \infty; 0)$ thỏa mãn F(-2)=0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 93 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R thỏa mãn $\int f (x) d x = e^{- 2018 x} + C$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 94 : Hàm số nào trong các hàm số sau đây có một nguyên hàm bằng $\cos^{2} x$ ?

Câu 95 : Cho biết hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Tìm nguyên hàm

Câu 96 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ biết F(1)=2. Giá trị của F(2) là:

Câu 97 : Biết $F (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (2 x^{2} - 5 x + 2) e^{- x}$ trên $ℝ$ . Giá trị của biểu thức f(F(0)) bằng:

Câu 98 : Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1 và x=4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( $1 \leq x \leq 4$ ) thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2x.

Câu 99 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ thỏa mãn F(5)=2 và F(0)=1. Tính F(2)-F(-1).

Câu 100 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + e^{x}$ là:

Câu 101 : Cho đồ thị y=f(x) như hình vẽ sau đây. Biết rằng $\int_{- 2}^{1} f (x) d x = a$ và $\int_{1}^{2} f (x) d x = b$ . Tính diện tích S của phần hình phẳng được tô đậm.

Câu 102 : Biết $\int_{1}^{2} \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1} = a \sqrt{5} + b \sqrt{2} + c$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P=a+b+c.

Câu 103 : Cho $\int_{0}^{3} f (x) d x = 2$ . Tính giá trị của tích phân L= $\int_{0}^{3} [2 f (x) - x^{2}] d x$ .

Câu 104 : Cho $\int_{1}^{2} f (x) d (x) = 1$ và $\int_{2}^{3} f (x) d x = - 2$ . Giá trị của $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

Câu 105 : Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bốn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện tích $S_{1}, S_{2}$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_{3}, S_{4}$ dùng để trồng cỏ.

Câu 106 : Giả sử hàm số y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên $(0; + \infty)$ và thỏa mãn f(1)=1, $f (x) = f' (x) \sqrt{3 x + 1}$ , với mọi x>0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 107 : Cho biết hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và có một nguyên hàm là F(x). Tìm $\int [2 f (x) + f' (x) + 1] d x$ ?

Câu 108 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)= $\frac{1}{2 x - 1}$ . Biết F(1)=2. Giá trị của F (2) là

Câu 109 : Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x+1

Câu 110 : Cho hàm số f(x)>0 với $x \in ℝ, f (0) = 1$ và $f (x) = \sqrt{x + 1} . f' (x)$ với mọi $x \in ℝ$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 111 : Cho hàm số f(x), f(-x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn 2f(x)+3f(-x)= $\frac{1}{4 + x^{2}}$ . Tính $I = \int_{- 2}^{2} f (x) d x$ .

Câu 112 : Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = 2$ . Tính $\int_{1}^{4} \frac{f (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$ bằng:

Câu 113 : Cho hai tích phân $\int_{- 2}^{5} f (x) d x = 8$ và $\int_{5}^{- 2} g (x) d x = 3$ . Tính I= $\int_{- 2}^{5} [f (x) - 4 g (x) - 1] d x$ ?

Câu 114 : Tích phân $\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2} + 3} d x$ bằng:

Câu 115 : Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Câu 116 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5^{2 x}$ ?

Câu 117 : Cho hàm số y=f(x) có f'(x) liên tục trên $[0; 2]$ và $f (2) = 16;$ $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ . Tính $I = \int_{0}^{1} x f' (2 x) d x$ .

Câu 118 : Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $[- 1; 1]$ và $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$ . Kết quả $I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x$ bằng:

Câu 119 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} - 1$ là:

Câu 120 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$ là:

Câu 121 : Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 122 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{5 x + 4}$ là:

Câu 123 : Cho hàm số $f (x) = 2 x + e^{x}$ . Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0)=2019

Câu 124 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: $f (0) = 2 \sqrt{3}, f (x) > 0, \forall x \in ℝ$ và $f (x) . f' (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)},$ $\forall x \in ℝ$ . Khi đó giá trị f(1) bằng:

Câu 125 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} + 3$ là:

Câu 126 : Tích phân $\int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 5} d x$ bằng:

Câu 127 : Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đường cong $y = - x^{3} + 12 x v à y = - x^{2}$ là:

Câu 128 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x}$ , y=1 đường thẳng x=4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y=1 bằng

Câu 129 : Cho tích phân $I = \int_{0}^{4} f (x) d x = 32$ . Tính tích phân $J = \int_{0}^{2} f (2 x) d x$

Câu 130 : Cho tích phân $I = \int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ . Tính tích phân $J = \int_{0}^{2} [3 f (x) - 2] d x$

Câu 131 : Gọi F(x) là nguyên hàm trên R của hàm số $f (x) = x^{2} e^{a x} (a \neq 0)$ sao cho $F (\frac{1}{a}) = F (0) + 1$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Câu 132 : Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong $y = - x^{3} + 12 x$ và $y = - x^{2}$

Câu 133 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$

Câu 134 : Cho tích phân $\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x^{2}} d x = \frac{b}{c} + a \ln 2$ với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P=2a+3b+c

Câu 135 : Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lơn bằng 80cm, độ dài trục bé bằng 60cm. Tính thể tích V của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 136 : Nếu $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + e^{x} + C$ thì f(x) bằng:

Câu 137 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2019}, (x \in ℝ)$ là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Câu 138 : Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x)=27+cosx và f(0)=2019. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 139 : Hàm số F(x)= $e^{x^{2}}$ là nguyên hàm của hàm số

Câu 140 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f'(x)-2018f(x)= $2018 x^{2017} e^{2018 x}$ với mọi $x \in ℝ$ , f(0)=2018. Tính f(1)

Câu 141 : Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 142 : Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x)=cos(2x+3)

Câu 143 : Cho f(x) liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn $\int_{0}^{10} f (x) d x = 7$ , $\int_{2}^{6} f (x) d x = 3$ . Khi đó giá trị của $P = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x$ là:

Câu 144 : Tìm tất cả nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = x - \frac{1}{x}$

Câu 145 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)=-2, f(b)=-4. Tính $T = \int_{a}^{b} f' (x) d x$

Câu 146 : Một chất điểm chuyển động trong 20 giây đầu tiên có phương trình $s (t) = \frac{1}{12} t^{4} - t^{3} + 6 t^{2} + 10 t$ , trong đó t > 0 với t tính bằng giây (s) và s(t) tính bằng mét (m). Hỏi tại thời điếm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu:

Câu 147 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng:

Câu 148 : Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = x^{3} + x + 1$

Câu 149 : Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ thỏa mãn F(5) = 2 và F(0) = 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 150 : Tính $\int_{a}^{b} \frac{a - x^{2}}{(a + x}$ ²)2dx với (a, b là các số dương cho trước)

Câu 151 : Cho hàm số f(x) liên tục trên [1; $+ \infty$ ) và $\int_{0}^{3} f (\sqrt{x + 1}) d x = 8$ . Tích phân $I = \int_{1}^{2} x f (x) d x$ bằng

Câu 152 : Biết $\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x - 5}{2 x + 2} d x = a + \ln b$ với a, b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 153 : Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= $e^{x} + x$ là:

Câu 154 : Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và f(x) $\neq$ 0 với mọi $x \in ℝ$ . $f' (x) = (2 x + 1) f^{2} (x)$ và f(1)=-0,5. Biết rằng tổng f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2017)= $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ tối giản.

Câu 155 : Cho mặt phẳng $(α)$ đi qua M(1;-3;4) và song song với mặt phẳng $(β)$ : 6x-5y+z-7=0. Phương trình của mặt phẳng $(α)$ là:

Câu 156 : Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3^{x}$ là:

Câu 157 : Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ . Tính $\int_{0}^{2} (f (x) + 1) d x ?$

Câu 158 : Biết $I = \int_{3}^{4} \frac{d x}{x^{2} + x} = a \ln 2 + b \ln 3 + c \ln 5$ với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c

Câu 159 : Một oto đang chạy với tốc độ 36 km/h thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đo, oto chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = - 5 t + 10 (m / s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, oto còn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 160 : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = 4 x + \sin 3 x$ , biết $F (0) = \frac{2}{3}$ .

Câu 161 : Cho f, g là hai hàm liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện $\int_{1}^{3} [f (x) + 3 g (x)] d x = 10$ đồng thời $\int_{1}^{3} [(2 f (x) - g (x)] d x = 6$ . Tính $\int_{1}^{3} [f (x) + g (x)] d x$ .

Câu 162 : Biết $\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x} d x = a \ln 2 + \frac{b}{c}$ (với a là số hữu tỉ, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của S=2a+3b+c.

Câu 163 : Cho số thực dương k > 0 thỏa mãn $\int_{0}^{2} \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + k}} = \ln (2 + \sqrt{5})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 164 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 165 : Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) xác định trên K. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 166 : Một chiếc ô tô đang chuyến động với vận tốc $v (t) = 2 + \frac{t^{2} - 4}{t + 4}$ (m/s). Quãng đường ô tô đi được từ thời điểm t=5(s) đến thời điểm t=10 (s) là:

Câu 167 : Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{3 x + 1}$ trên khoảng $(- \infty; \frac{- 1}{3})$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 168 : Tính $\int_{0}^{1} 3^{2 x + 1} d x$ :

Câu 169 : Cho hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 2 x + 1$ .Tìm $\int f (x) d x$

Câu 170 : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x, biết $F (\frac{π}{6}) = 0$

Câu 171 : Biết $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x + x \cos x - \sin^{3} x}{1 + \cos x} d x = \frac{π^{2}}{a} - \frac{b}{c}$ . Trong đó a, b, c là các số nguyên dương, phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Câu 172 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

Câu 173 : Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = t^{3} - 3 t^{2} - 9 t$ , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.

Câu 174 : Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} x^{2} k h i 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x k h i 1 \leq x \leq 2 \end{cases}$

Câu 175 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và thỏa mãn $f (4 - x) = f (x)$ . Biết $\int_{1}^{3} x f (x) d x = 5$ . Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x$

Câu 176 : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Câu 177 : Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=2sin2xcosx thỏa mãn $F (\frac{π}{2}) = 2$ là

Câu 178 : Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = \sin x, y = \cos x, x = 0, x = π$ . Thể tích vật thể tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành Ox bằng

Câu 179 : Một vật đang chuyển động đều với vận tốc 5 m/s thì thay đổi chuyển động với gia tốc $a (t) = 3 t^{2} - 6 t (m / s^{2})$ , trong đó t là thời điểm tính từ khi bắt đầu vật thay đổi chuyển động. Vận tốc của vật tại thời điểm t=5s bằng

Câu 180 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (x) = 6 x^{2} f (x^{3}) + \frac{3}{\sqrt{3 x + 1}}$ Giá trị $\int_{0}^{2} (x + 1) f' (\frac{x}{2}) d x$ bằng:

Câu 181 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{- x} + x^{2}$ là

Câu 182 : Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f(x), y=0, x=2a bằng S. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=f(2x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x=0, x=a bằng:

Câu 183 : Một chất điểm A xuất phát từ O chuyển động với quy luật $s (t) = a t^{3} + b t^{2} + c t (m)$ , trong đó s(t) là quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian t kể từ thời điểm xuất phát. Cùng thời điểm đó, một chất điểm B ở cách O 30m, đang di chuyển cùng hướng A với vận tốc 10m/s thì lại chuyển động với gia tốc $a (t) = 5 - 2 t (m / s^{2})$ . Tại thời điểm hai vật gặp nhau, vận tốc chất điểm A bằng

Câu 184 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ / \{0\}$ và thỏa mãn $2 f (2 x) - f (\frac{1}{x}) = x^{2}$ , $\int_{1}^{2} x f' (x) d x = 5$ . Giá trị $\int_{1}^{2} f (\frac{2}{x}) d x$ bằng

Câu 185 : Tính $\int (\frac{3}{x^{2}} + 2^{x}) d x$

Câu 186 : Biết $\int_{a}^{b} f (x) d x = 3, \int_{b}^{a} g (x) d x = 5$ . Tính $I = \int_{a}^{b} [3 f (x) + 2 g (x)] d x$

Câu 187 : Biết rằng $\int_{0}^{\frac{π}{4}} (2 x + \cos^{x} x) d x = a π^{2} + bπ + c$ , với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính P= $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Câu 188 : Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = - \sqrt{x}, y = x, x = 4$ . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.

Câu 189 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R, và các tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f' (x)] d x = \frac{π}{4}$ , $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x f (x) d x = \frac{π}{4}$ . Biết rằng f(0)=0 , tính $f (\frac{π}{3})$

Câu 190 : Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thì hàm số y = tan x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, $x = \frac{π}{4}$ . Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

Câu 191 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ và $F (2) = 3 + \frac{1}{2} \ln 3$ . Tính F(3).

Câu 192 : Cho $\int_{0}^{4} f (x) d x = - 1$ . Khi đó $I = \int_{0}^{1} f (4 x) d x$ bằng:

Câu 193 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x + 2}$ , trục hoành và đường thẳng x=2 là.

Câu 194 : Xét tích phân $I = \int_{1}^{\sqrt{2}} x e^{x^{2}} d x$ . Sử dụng phương pháp đổi biến số với $u = x^{2}$ , tích phân I được biến đổi thành dạng nào sau đây:

Câu 195 : Một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 - \sin 2 x$ khi F(0)=1 là:

Câu 196 : Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3} - 4 x$ , trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=4 là:

Câu 197 : Cho hàm số y = f(x) và = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y= f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức:

Câu 198 : Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x}$ và nửa đường tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với 0 £ x £ 4) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Câu 199 : Biết $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $= a \sqrt{3} + b \sqrt{2} + c + \frac{1}{2} \ln (3 \sqrt{2} - 3)$ với a, b, c là các số hữu tỷ.

Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực...