Tổng hợp các kiến thức về số phức và ứng dụng trong giải bài tập

Tổng hợp các kiến thức về số phức và ứng dụng trong giải bài tập

Số phức là một dạng bài tập khá quan trọng và tương đối khó trong toán học giải tích. Nếu bạn đạng gặp vấn đề về dạng bài tập này thì bài viết dưới đây sẽ là sự lựa chọn hợp lý cho bạn. Qua đây, bạn sẽ hiểu được số phức là gì, các dạng số phức thường gặp và ứng dụng số phức trong nghiên cứu thức tế. Chúc các bạn học tập vui vẻ!

I. Định nghĩa

Cho số phức thỏa mãn điều kiện thuộc tập hợp R, số phức được biểu diễn dưới dạng a + bi, với a và b là các số thực và i là đơn vị ảo, thỏa mãn  \(i^2 = −1\).

Số thực a được gọi là phần thực của a + bi, số thực b được gọi là phần ảo của a + bi. 

II. Các dạng đại số của số phức

1. Số thực và số thuần ảo

Mỗi số thực a được xem là một số phức có b =0.

Ta có: \(R \subset C\)

Nếu a =0, số phức b.i được gọi là thuần ảo.

2. Số liên hợp

Cho số phức dưới dạng đại số \({\displaystyle Z=a+bi\,}\), số phức \({\displaystyle Z=a+bi\,}\) được gọi là số phức liên hợp của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

• \({\displaystyle Z\times {\overline {Z}}=a^{2}+b^{2}}\) là một số thực.
• \({\displaystyle {\overline {Z+Z'}}} ={\displaystyle {\overline {Z}}+{\overline {Z'}}}\)
• \({\displaystyle {\overline {Z\times Z'}}} ={\displaystyle {\overline {Z}}\times {\overline {Z'}}}\)

3. Hai số phức bằng nhau

Cho 2 số phức \(z=ai+b,z'=a'+b'i\)

\(z=z'\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc} a=a'\\ b=b' \end{array} \right.\)

4. Cộng trừ hai số phức

Cho 2 số phức \(z=ai+b,z'=a'+b'i\)

\(\left\{ \begin{array}{cc} z+z'\\ z-z' \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{cc} (a+a')+(b+b')i\\ (a-a')+(b-b')i \end{array} \right.\)

5. Nhân hai số phức

Cho 2 số phức \(z=ai+b,z'=a'+b'i\)

\(zz'=aa'+bb'i\)

6. Biểu diễn số phức

Mỗi số phức đều được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Tương tự, mỗi điểm M(a;b) đều biểu diễn một số phức là z = a +bi.

Xem tại đây:

• Cách thức biểu diễn hình học số phức toán học học sinh cần nắm vững
• Tổng hợp đầy đủ công thức số phức toán học học sinh không nên bỏ qua

7. Modun số phức

Cho số phức z = a + bi. Ta ký hiệu |z| là modun của số phức z, đó là số thực không âm được xác định như sau:

• Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z thì \(|z|=|\overline{OM}|= \sqrt{a^2+b^2}\)
• Nếu z = a + bi thì \(|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}\)

III. Dạng lượng giác của số phức

1. Định nghĩa

Số phức \({\displaystyle z=a+b*i}\) có thể viết dưới dạng: 

\({\displaystyle z=a+b*i={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}*i\right)}\)
Khi đặt: \({\displaystyle r=|z|,\varphi =arg(z)}\),

ta có: \({\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )}\)

Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z

2. Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác

Phép nhân và phép chia các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

\({\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )}\)

\({\displaystyle z'=r'(cos{\varphi }'+i\,sin{\varphi ')}}\)

Khi đó

\({\displaystyle z*z'=rr'(cos(\varphi +{\varphi }')+i\,sin(\varphi +{\varphi }')}\)

\({\displaystyle {\dfrac {z}{z'}}={\dfrac {r}{r'}}(cos(\varphi -{\varphi }')+i\,sin(\varphi -{\varphi }')}\)

3. Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).

\({\displaystyle z^{n}=r^{n}(cos(n\,\varphi )+i\,sin(n\,\varphi ))}\)

Xem thêm tại: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng

IV. Bất đẳng thức số phức

Một số bất đẳng thức số phức thường gặp:

\(|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|\)

\(|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|\)

\(|z_1-z_2|\ge|z_1|-|z_2|\)

\(|z_1+z_2|\ge|z_1|-|z_2|\)

\(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|+|z_2|)^2\)

V. Một số dạng bài tập số phức

Dạng 1: Các phép tính về số phức

Để làm được các bài tập dạng này bạn phải nắm chắc được công thức cộng trừ, nhân chia và phép tính lũy thừa về số phức.

Ví dụ: a) Cho số phức \(z=\dfrac{1-i}{1+i}\). Tính giá trị của biểu thức \(z^{2010}\)?

b) Chứng minh \(3(1+i)^{2010}=4i(1+i)^{2008}-4(1+i)^{2006}\)

Ta có:

a) \(z=\dfrac{1-i}{1+i}= \dfrac{(1+i)^2}{2}=i\)

Nên \(z^{2010}=i^{2010}=i^{4\times 502+2}=i^{4\times 502}.i^2=1.(-1)=-1\).

b)\(3(1+i)^{2010}=4i(1+i)^{2008}-4(1+i)^{2006}\Leftrightarrow 3(1+i)^4=4i(1+i)^2-4\Leftrightarrow(1+i)^2=-4\Leftrightarrow 4i^2=-4(đpcm)\)

Dạng 2: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Để làm được dạng bài tập này ta biến đổi số phức về dạng tổng quát z = a +bi. Phần thực là a và phần ảo là b.

Ví dụ: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

\((-1+i)^3-(2i)^3\)

Ta có \((-1+i)^3= -1+3i-3i^2+i^3=2+2i\)

và \((2i)^3=8i^3=-8i\)

Nên \((-1+i)^3-(2i)^3= 2+10i\)

Vậy số phức đã cho có phần thực là 2 và phần ảo là 10.

Dạng 3: Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số thực.

Để làm được dạng bài này các bạn nên nắm chắc kiến thức về 2 số phức bằng nhau.

Ví dụ: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z = x +yi thỏa mãn \(z^3=18+26i\).

Ta có \((x+yi)=18+26i \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}x^3-3xy^2=18\\3x^2y-y^3=26\end{array}\right.\Rightarrow 18(3x^2y-y^3)=26(x^3-3xy^2).\)

Giải phương trình bằng cách đặt y = tx với x # 0 ta được \(t =\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=3,y=1.\)

Vậy z = 3 + i.

Luyện tập ngay tại: So phuc - Bài tập

VI. Ứng dụng của số phức

• Ứng dụng của số phức trong hình học phẳng: phép quay 90 độ có bình phương bằng -1
• Phân tích đa thức ra thừa số
• Tính toán các tích phân
• Tìm dạng chuẩn và phân loại các cấu trúc toán học
• Trong vật lý ngày nay, số phức xuất hiện rất nhiều. Bời vì vật lý liên quan đến hình học, có nhiều đại lượng không chỉ có độ lớn mà còn có hướng. Mà đã nói đến hướng là dễ đụng đến số phức, vì số ảo thể hiện sự quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả điện xoay chiều.

Thông qua bài học vừa rồi chắc hẳn bạn đã phần nào giải quyết được thắc mắc của bản thân rồi đúng không? Trong quá trình tham khảo nếu có thiếu xót xin vui lòng chia sẻ dưới mục bình luận. Chúng tôi hy vọng sớm nhận được sự phản hồi của các bạn!