Lý thuyết Hàm số bậc hai lớp 10 đầy đủ nhất

Hàm số bậc hai lớp 10 là một trong những kiến thức Toán học cơ bản nhất ở lớp 10 cấp Trung học phổ thông. Cunghocvui xin gửi tới các bạn bài tham khảo về lý thuyết và các dạng bài tập hàm số bậc 2 lớp 10 đầy đủ và chi tiết nhất. Hy vọng bài viết này sẽ có ích với các bạn trong quá trình học tập.

A. Lý thuyết hàm số bậc hai lớp 10

- Công thức của hàm số bậc hai lớp 10 là: \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\)

- Tập số thực R là tập xác định của hàm số.

I - Hàm số bậc hai lớp 10 có dạng đồ thị như thế nào?

- Đồ thị của một hàm số bậc 2 lớp 10 có dạng là một đường cong parabol với tọa độ đỉnh I được xác định bằng công thức:

+ Tung độ \(\dfrac{-b}{2a}\)

+ Hoành độ \(\dfrac{-\Delta }{4a}\)

- Đồ thị của một hàm số \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\) nhận đường thẳng \(x=\dfrac{-b}{2a}\) làm trục đối xứng của đồ thị.

- Đồ thị có dạng hướng lên trên hay quay xuống dưới phụ thuộc vào hệ số a. Cụ thể là:

+ Nếu a > 0, đồ thị hướng lên trên 

+ Nếu a < 0, đồ thị hướng xuống dưới

* Cách vẽ parabol hàm số bậc hai lớp 10 \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\)

Muốn vẽ được một đồ thị \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\), mỗi người phải xác định được một số bước và thao tác sau:

- Bước thứ nhất: Tìm tọa độ đỉnh I theo công thức: 

+ Tung độ \(\dfrac{-b}{2a}\)

+ Hoành độ \(\dfrac{-\Delta }{4a}\)

- Bước thứ hai: Tìm trục đối xứng của đồ thị theo công thức \(x=\dfrac{-b}{2a}\)

- Bước thứ ba: Tùy theo hàm, tìm tung độ và hoành độ của các điểm mà đồ thị hàm số bậc 2 lớp 10 giao nhau với trục tung và trục hoành (nếu có). Bên cạnh điểm giao nhau với trục tung và trục hoành, tìm thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị chẳng hạn như điểm đối xứng của các điểm cắt,... Bước này để đồ thị được vẽ một cách chính xác hơn.

- Bước thứ 4: Tiến hành vẽ đồ thị có dạng parabol theo các điểm đã được xác định.

II - Chiều biến thiên của hàm số bậc hai lớp 10. Hàm số bậc 2 đồng biến khi nào?

Theo đồ thị của hàm số bậc hai có dạng \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\), ta có thể rút ra nhận xét về bảng biến thiên của hàm số bậc hai lớp 10 với a > 0 và a < 0 như sau:

- Từ bảng biến thiên về hàm số \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\), ta có thể rút ra một số nhận xét sau đây:

+ Với trường hợp a > 0, hàm số  \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ có khoảng đồng biến là \((-\infty ;\dfrac{-b}{2a})\) và khoảng nghịch biến là \((\dfrac{-b}{2a};+\infty )\)

+ Với trường hợp a < 0 thì khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ ngược lại với trường hợp a > 0. Cụ thể, hàm số đồng biến trên khoảng \((\dfrac{-b}{2a};+\infty )\) và nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;\dfrac{-b}{2a})\).

B. Các dạng toán về hàm số bậc hai lớp 10

I - Dạng 1: Xác định hàm số dạng \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\)

1. Phương pháp giải toán hàm số bậc hai

- Gọi hàm số cần tìm có dạng \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\)

- Dựa vào những gì có trong giả thiết ở đề bài để thiết lập những mối tương quan và giải hệ phương trình với các ẩn là a, b và c. Từ đó suy ra hàm số cần tìm.

2. Một số bài tập về xác định hàm số bậc hai lớp 10

Bài 1: Xác định hàm số dạng \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\), biết rằng: 

a, Đồ thị hàm số đi qua một điểm có tọa độ (2; 3) và có tọa độ đỉnh I là (1; 2)

b, Đồ thị hàm số có c = 2, đi qua một điểm có tọa độ (3; -4) và nhận đường thẳng \(x=\dfrac{-3}{2}\) làm trục đối xứng.

c, Khi x nhận giá trị bằng \(\dfrac{1}{2}\) thì hàm số sẽ nhận giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{3}{4}\) và khi x nhận giá trị bằng 1 thì hàm số sẽ nhận giá trị nhỏ nhất là 1.

d, Đồ thị hàm số đi qua một điểm M có tọa độ (4; 3), giao với trục hoành Ox tại điểm N có tọa độ (3; 0) sao cho diện tích của tam giác INP là 1 (với hoành độ của P nhỏ hơn 3) và I là đỉnh của parabol.

II - Dạng 2: Nhận xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\)

1. Cách làm

Muốn vẽ được một đồ thị \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\), mỗi người phải xác định được một bước và thao tác sau:

- Bước thứ nhất: Tìm tọa độ đỉnh I theo công thức: 

+ Tung độ \(\dfrac{-b}{2a}\)

+ Hoành độ \(\dfrac{-\Delta }{4a}\)

- Bước thứ hai: Tìm trục đối xứng của đồ thị theo công thức \(x=\dfrac{-b}{2a}\)

- Bước thứ ba: Tùy theo hàm, tìm tung độ và hoành độ của các điểm mà đồ thị hàm số bậc hai giao nhau với trục tung và trục hoành (nếu có). Bên cạnh điểm giao nhau với trục tung và trục hoành, tìm thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị chẳng hạn như điểm đối xứng của các điểm cắt,... Bước này để đồ thị được vẽ một cách chính xác hơn.

- Bước thứ 4: Tiến hành vẽ đồ thị có dạng parabol theo các điểm đã được xác định.

2. Một số bài tập về sự biến thiên về hàm số bậc 2 lớp 10

Bài 1: Nhận xét bảng biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số \(y= ax^{2}+bx+c\) sau:

a, \(x^2 +3x+2\)

b, \(-x^2 +2\sqrt{2}x\)

Bài 2: Cho một hàm số có dạng sau: \(x^2 -6x+8\)

a, Xác định bảng biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị

b, Với đồ thị vừa vẽ được ở ý a, cho đường thẳng y = m. Hãy biện luận số giao điểm chung của đồ thị hàm số và đường thẳng.

c, Với đồ thị vừa vẽ được, hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến, các khoảng hàm số nhận giá trị âm, các khoảng hàm số nhận giá trị dương,

d, Theo đồ thị vừa vẽ được, trong khoảng giá trị \(\begin{bmatrix}-1;5\end{bmatrix}\) hãy xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

III - Dạng 3: Hàm số có chứa giá trị tuyệt đối và bao gồm nhiều công thức

Bài 1: Hãy xác định bảng biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số sau:

a, \(y= x-2\) trong điều kiện \(x \geq 2\) và \(y = -x^2+2x\) trong điều kiện \(x<2\)

b, \(y=\left | x^2-x-2 \right |\)

c, \(y=x^2-3\left | x \right |+2\)

d, \(y=\left | x^2-3\left | x \right |+2 \right |\)

IV - Dạng 4: Hàm số bậc 2 lớp 10 ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm max, min của hàm số

1. Cách làm 

Theo đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\), có thể xác định được điểm max, min của hàm số trong một khoảng giá trị \(\left [ a;b \right ]\) tại giá trị \(x=a\), \(x=b\) hoặc \(x=\dfrac{-b}{2a}\)

2. Một số bài tập chứng minh bất đẳng thức và tìm max, min của hàm số bậc hai lớp 10

Bài 1: Hàm số được cho bởi công thức \(y=x^2+2(m+3)x +m^2-3\) với m là giá trị của tham số. Hãy xác định m để:

a, Phương trình \(y=x^2+2(m+3)x +m^2-3\) có hai nghiệm tương ứng là \(x_{1}\) và \(x_{2}\)

b, Với hai nghiệm  \(x_{1}\) và \(x_{2}\), phương trình \(P=5(x_{1}+x_{2})-2x_{1}x_{2}\) có giá trị lớn nhất

Bài 2: Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc 2 lớp 10 cho bởi công thức:

\(y=\sqrt[3]{x^4+2x^2+1}- 3\sqrt[3]{x^2+1}+1\)

Bài 3: Với hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện \(ab\neq 0\), hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức được cho bởi công thức sau: 

\(P= \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}+1\)

V - Bài tập về hàm số bậc hai lớp 10 

Bài 1: Xác định hàm số bậc 2 lớp 10 có dạng \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\) khi biết rằng:

a, Đồ thị hàm số đi qua một điểm A có tọa độ (1; 0) và một điểm B có tọa độ (-2; -6)

b, Đồ thị hàm số nhận một điểm I có tọa độ (1; 4) làm tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số

c, Đồ thị hàm số giao với trục tung tại một điểm có tung độ bằng 3 và nhận điểm S có tọa độ (-2; -1) làm đỉnh của đồ thị

Bài 2: Lập, nhận xét bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y= ax^{2}+bx+c\) với điều kiện \(a\neq 0\):

a, \(y=x^2-3x+2\)

b, \(y=-2x^2+4x\)

Bài 3: Một hàm số được cho bởi công thức sau: \(y=-x^2 -2x+2\)

a, Lập, nhận xét bảng biến thiên, chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và xây dựng đồ thị hàm số

b, Với đồ thị vừa vẽ, hãy xác định một giá trị m để đường thẳng y = m giao với đồ thị tại hai điểm phân biệt

c, Với đồ thị vừa vẽ, trên khoảng giá trị \(\left [ -3;1 \right ]\) hãy xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn hàm số: \(x^2+y^2=1+xy\). Hãy chứng minh rằng:

\(\dfrac{1}{9}\leq x^4+y^4-x^2y^2\leq \dfrac{3}{2}\)

Tham khảo thêm >>> Giải bài tập sách giáo khoa Hàm số bậc hai lớp 10

Với bài viết hàm số bậc hai lớp 10, Cunghocvui đã đem lại cho các bạn những kiến thức đầy đủ nhất về hàm số bậc 2. Nếu có đóng góp gì cho bài hàm số bậc 2 lớp 10, hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé