Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương 3 - Hình học 7

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AH, vẽ HP vuông góc với AB (P thuộc AB); trên tia đối của tia PH lấy \(PM = PH\) , vẽ HQ vuông góc với AC (Q thuộc AC). Trên tia đối của tia QH lấy \(QN = QH\). Nối M với N đường thẳng MN cắt AB, AC theo thứ tự tại Ivà K. Chứng minh:
a) \(\Delta AMN\) cân.
b) Tia HA là tia phân giác của góc \(\widehat {IHK}\). 

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có \(\widehat C = {30^0}\), đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho \(H{\rm{D}} = HB\). Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:

a) \(\Delta AB{\rm{D}}\) là tam giác đều;

b) \(AH = CE;\)

c) EH // AC.  

Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Ta có \(PH \bot AB\) (gt), \(PM = PH\) (gt).

Do đó \(\Delta MAH\) có đường cao AP đồng thời là đường trung tuyến nên \(\Delta AMH\) cân tại A \( \Rightarrow AM = AH.\) 
Chứng minh tương tự ta có \(\Delta ANH\) cân tại A \( \Rightarrow AH = AN.\) 
Do đó \(AM = AN.\) Chứng tỏ \(\Delta AMN\) cân tại A.

b) AMH cân tại A nên đường cao AP cũng đồng thời là đường trung trực, mà I thuộc  AP nên \(IM = IH\); lại có \(AM = AH\) (cmt). Do đó \(\Delta AIM = \Delta AIH\) (c.c.c) \( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat H_1}.\) 

Chứng minh tương tự  ta có \({\widehat N_1} = {\widehat H_2}\), mà \({\widehat M_1} = {\widehat N_1}\) (\(\Delta AMN\) cân). \( \Rightarrow {\widehat H_1} = {\widehat H_2}\) hay HA là tia phân giác của \(\widehat {IHK}\).

Bài 2:

a) \(\Delta AB{\rm{D}}\) có đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên \(AB{\rm{D}}\) cân.

Có \(\widehat B = {60^0}\) (vì \(\widehat C = {30^0}\) (gt)).

Do đó \(\Delta AB{\rm{D}}\) đều.

b) \(\Delta AB{\rm{D}}\) đều (cmt) \( \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^0} \Rightarrow \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat C = {30^0}.\)

Do đó \(\Delta A{\rm{D}}C\) cân tại D \( \Rightarrow DA = DC.\)

Xét hai tam giác vuông AHD và CED có:

+) \(DA = DC\) (cmt);

+) \({\widehat D_1} = {\widehat D_2}\) (đđ);

Vậy \(\Delta AH{\rm{D}} = \Delta CE{\rm{D}}\) (cạnh huyền-góc nhọn)

\( \Rightarrow AH = CE.\)

c) \(\Delta AH{\rm{D}} = \Delta CE{\rm{D}}\)(cmt) \( \Rightarrow H{\rm{D}} = E{\rm{D}}\) (cạnh tương ứng).

Do đó \(\Delta DHE\) cân tại D.

Mặt khác \(\Delta A{\rm{D}}C\) cân tại D, mà hai tam giác cân này chung đỉnh D

\( \Rightarrow \widehat {CHE} = \widehat {ACB} = {30^0}.\)

\( \Rightarrow \) EH // AC (cặp góc so le trong bằng nhau).