Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết đại cương về đường thẳng và mặt phẳng!

I. Các tính chất

Tính chất 1: Xác định được qua hai điểm đó chính là chỉ một và duy nhất một đường thẳng.

Tính chất 2: Xét ba điểm biết rằng chúng không thẳng hàng thì ta sẽ xác định được một mặt phẳng duy nhất.

Tính chất 3: Đối với đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ nào đó thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm nằm trên đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Tính chất 4: Xét bốn điểm, biết chúng là bốn điểm tùy ý được lấy 1 cách bất kỳ ta không thể nào xác định được một mặt phẳng cùng đi qua bốn điểm đó.

Tính chất 5: Nếu đã tìm được một điểm chung giữa hai mặt phẳng riêng biệt thì hoàn toàn có thể tìm được một điểm chung khác nữa.

Tính chất 6: Các kết quả chứng minh trong hình học phẳng của một mặt phẳng bất kỳ đều được chứng minh rõ.

II. Các cách xác định một mặt phẳng

- Cách 1: Nối ba điểm bất kỳ ta sẽ tạo ra một mặt phẳng.

- Cách 2: Qua một điểm và một đường thẳng bất kỳ với điều kiện điểm đó không thuộc đường thẳng thì ta sẽ xác định được một mặt phẳng.

- Cách 3: Qua hai đường thẳng cắt nhau ta cũng xác định được một mặt phẳng chứa đồng thời hai đường đó.

III. Hình chóp và hình tứ diện

1. Hình chóp

Xét một đa giác có các điểm \(\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) được xác định bằng cách nằm trong một mặt phẳng. Tìm bát kỳ một điểm S sao cho điểm đó không thuộc mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\).

Từ điểm S xác định đó ta lần lượt nối với các đinh của như sau: \(\displaystyle {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}\) ta được n tam giác \(\displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}\). Hình gồm đa giác  và n tam giác \(\displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) các hình này hội tụ với nhau bằng một cái tên chung đó chính là hình chóp, kí hiệu là \(\displaystyle S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\).

S chính là đỉnh hợp lý cho đa giác, đa giác \(\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\) là đáy , các đoạn \(\displaystyle S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}\) là các cạnh bên, \(\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) là các cạnh đáy, các tam giác \(\displaystyle S{{A}_{1}}{{A}_{2}},S{{A}_{2}}{{A}_{3}},...,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) là các mặt bên…

2. Hình Tứ diện

Để xác định một hình tứ diện hợp lý và bất kỳ A, B, C, D, biết rằng bốn điểm này không thuộc cùng một mặt phẳng ta dễ dàng xác định được các hình tứ diện với đáy là các tam giác được nối bởi ba điểm bất kỳ, và đỉnh sẽ là điểm còn lại.

Giải bài tập đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

IV. Các dạng bài tập đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 1: Hai đường thẳng cắt nhau tại một giao tuyến. Xác định nó?

Cách làm:

Tìm hai điểm chung cùng nằm trên hai mặt phẳng cần xác định giao tuyến.

Dạng 2. Tìm điểm chung của mặt phẳng và đường thẳng.

Phương pháp

Nếu trong (P) có sẵn một đường thẳng d' cắt d tại M, khi đó \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}M\in d\\M\in d'\subset \left( P \right)\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\in d\\M\in \left( P \right)\end{array} \right.\Rightarrow M=d\cap \left( P \right)\)

Dạng 3: Thiết diện của hình chóp là gì?

Cách giải

Thiết diện là các mặt phẳng bên của các hình chóp. Vậy để xác định chúng ta xét \(\displaystyle S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}\)  và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi ngang qua hình chóp và cắt nó, qua đó ta cũng xác định được điểm chung giữa \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) với các cạnh được xác định là cạnh bên xác định của hình chóp. Tìm thiết diện xác định bởi mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) với hình chóp.

III. Bài tập

Bài 1. Giải bài tập với hình S.ABCD là hình chóp trong đó đáy là tứ giác ABCD. Biết rằng hình chóp có chứa các cặp cạnh tương ứng được nối từ đỉnh tới các góc đáy không song song với nhau. Giao tuyến của các cặp cạnh được xác định như thế nào?

a) \(\displaystyle \left( SAC \right)\) và \(\displaystyle \left( SBD \right)\)

A. SC

B. SB

C. SO trong đó \(\displaystyle O=AC\cap BD\)

D. {S}

b) \(\displaystyle \left( SAC \right)\) và \(\displaystyle \left( MBD \right)\)

A. SM

B. MB

C. OM trong đó \(\displaystyle O=AC\cap BD\)

D. SD

c) \(\displaystyle \left( MBC \right)\) và \(\displaystyle \left( SAD \right)\)

A. SM

B. FM trong đó \(F=BC\cap AD\) 

C. SO trong \(\displaystyle O=AC\cap BD\)

D. SD

d) \(\displaystyle \left( SAB \right)\) và \(\displaystyle \left( SCD \right)\)

A. SE trong đó \(\displaystyle E=AB\cap CD\) 

B. FM trong đó \(F=BC\cap AD\)

C. SO trong \(\displaystyle O=AC\cap BD\)

D. SD

Lời giải:

a) Gọi \(\displaystyle O=AC\cap BD\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O\in AC\subset \left( SAC \right)\\O\in BD\subset \left( SBD \right)\end{array} \right.\\\Rightarrow O\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\end{array}\)Lại có \(\displaystyle S\in \left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)\).

b) \(\displaystyle O=AC\cap BD\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O\in AC\subset \left( SAC \right)\\O\in BD\subset \left( MBD \right)\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow O\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\).

Và \(\displaystyle M\in \left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\Rightarrow OM=\left( SAC \right)\cap \left( MBD \right)\).

c) Trong (ABCD) gọi \(\displaystyle F=BC\cap AD\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\in BC\subset \left( MBC \right)\\F\in AD\subset \left( SAD \right)\end{array} \right.\Rightarrow F\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\)

Và \(\displaystyle M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\Rightarrow FM=\left( MBC \right)\cap \left( SAD \right)\)

d) Trong (ABCD) gọi \(\displaystyle E=AB\cap CD\), ta có \(\displaystyle SE=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)\).

Bài 2. Xét \(\displaystyle S.ABCD\) , tứ giác đáy theo đó các cạnh bên của hình chóp thỏa mãn điều kiện là đối nhau và không tồn tại các cặp song song. Cho điểm M là một điểm bất kỳ trên cạnh SA.

a) SB giao \(\displaystyle \left( MCD \right)\) tại điểm nào?

    A.Điểm H, trong đó \(\displaystyle E=AB\cap CD\),\(\displaystyle H=SA\cap EM\)

    B. Điểm N, trong đó \(\displaystyle E=AB\cap CD\),\(\displaystyle N=SB\cap EM\)

    C. Điểm F, trong đó \(\displaystyle E=AB\cap CD\),\(\displaystyle F=SC\cap EM\)

    D. Điểm T, trong đó \(\displaystyle E=AB\cap CD\),\(\displaystyle T=SD\cap EM\)

b) Xác định điểm giao cắt giữa MC và mặt phẳng \(\displaystyle \left( SBD \right)\).

    A. Điểm H, trong đó \(\displaystyle I=AC\cap BD\), \(\displaystyle H=MA\cap SI\)

    B. Điểm F, trong đó \(\displaystyle I=AC\cap BD\), \(\displaystyle F=MD\cap SI\)

    C. Điểm K, trong đó \(\displaystyle I=AC\cap BD\), \(\displaystyle K=MC\cap SI\)

    D. Điểm V, trong đó \(\displaystyle I=AC\cap BD\), \(\displaystyle V=MB\cap SI\)

Lời giải:

Trong (SAB) gọi.

Ta có \(\displaystyle N\in EM\subset \left( MCD \right)\Rightarrow N\in \left( MCD \right)\) và \(\displaystyle N\in SB\) nên \(\displaystyle N=SB\cap \left( MCD \right)\).

b) Trong \(\displaystyle \left( ABCD \right)\) gọi \(\displaystyle I=AC\cap BD\).

Trong \(\displaystyle \left( SAC \right)\) gọi \(\displaystyle K=MC\cap SI\).

Ta có \(\displaystyle K\in SI\subset \left( SBD \right)\) và \(\displaystyle K\in MC\) nên \(\displaystyle K=MC\cap \left( SBD \right)\).

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác \(\displaystyle S.ABCD\), có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD.

a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?

A. Tam giác

B. Tứ giác    

C.Hình thang    

D.Hình bình hành

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là hình gì?

A. Ngũ giác

B. Tứ giác

C. Hình thang

D. Hình bình hành

Lời giải:

a) Trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( ABCD \right)\), gọi \(\displaystyle E=AB\cap CD\).

Trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( SCD \right)\) gọi \(\displaystyle Q=SC\cap EP\).

Ta có \(\displaystyle E\in AB\) nên \(\displaystyle EP\subset \left( ABP \right)\Rightarrow Q\in \left( ABP \right)\), do đó \(\displaystyle Q=SC\cap \left( ABP \right)\).

Thiết diện là tứ giác ABQP.

Trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( SAD \right)\) gọi \(\displaystyle H=SA\cap FP\)

Trong mặt phẳng (SCD) gọi \(\displaystyle K=SC\cap PG\).

Ta có \(\displaystyle F\in MN\Rightarrow F\in \left( MNP \right)\), \(\displaystyle \Rightarrow FP\subset \left( MNP \right)\Rightarrow H\in \left( MNP \right)\)

Vậy\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}H\in SA\\H\in \left( MNP \right)\end{array} \right.\Rightarrow H=SA\cap \left( MNP \right)\)

Tương tự \(\displaystyle K=SC\cap \left( MNP \right)\).

Thiết diện là ngũ giác MNKPH.

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về lý thuyết và trắc nghiệm về đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!