Câu 9 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp(ABC) và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho BB’ = a, CC’ = m.

a. Với giá trị nào của m thì AB’C’ là tam giác vuông ?

b. Khi tam giác AB’C’ vuông tại B’, kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh rằng B’C’H là tam giác vuông. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’C’).  

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A{C^2} = 3{a^2},AB{'^2} = 2{a^2},AC{'^2} = 3{a^2} + {m^2},\)

\(B'C{'^2} = 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2}\)

a. Tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi :

\(5{a^2} + {m^2} - 2ma = 2{a^2} + 3{a^2} + {m^2}\)

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở A khi và chỉ khi m = 0

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở C’ khi và chỉ khi :
\(2{a^2} = 3{a^2} + {m^2} + 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2}.\) Điều này không xảy ra.

Tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi :

\(2{a^2} + 4{a^2} + {\left( {m - a} \right)^2} = 3{a^2} + {m^2} \Leftrightarrow m = 2a\)

Vậy tam giác AB’C’ vuông ở B’ khi và chỉ khi m = 2a

b. Giả sử tam giác AB’C’ vuông ở B’, tức là m = 2a

Vì AH ⊥ BC nên BH.BC = AB² = \({a^2} \Rightarrow BH = {a \over 2}\)

Từ đó \(HC = {{3a} \over 2}\) và \(B'{H^2} = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4}\)

\(C'{H^2} = {{9{a^2}} \over 4} + 4{a^2} = {{25{a^2}} \over 4};B'C{'^2} = 5{a^2}\)

Như vậy : \(B'{H^2} + B'C{'^2} = C'{H^2}\), tức là tam giác B’C’H vuông tại B’

Tính góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) khi m = 2a.

Gọi I là giao điểm của B’C’ và BC. Do BB’ // CC’ , BB’ = a, CC’ = 2a nên BC = BI, B’C’ = B’I.

Xét phép chiếu lên mp(ABC). Ta có tam giác AIC là hình chiếu của tam giác AIC’. Gọi φ là góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) thì \({S_{AIC}} = {S_{AIC'}}\cos \varphi \)

Ta có: \({S_{AIC}} = 2{S_{ABC}} = {a^2}\sqrt 3 \)

Mặt khác : \({S_{AIC'}} = {1 \over 2}IC'.AB' = {1 \over 2}.2a\sqrt 5 .a\sqrt 2  = {a^2}\sqrt {10} \)

Từ đó : \(\cos \varphi  = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}\sqrt {10} }} = {{\sqrt {30} } \over {10}}\)

Vậy góc giữa mp(ABC) và mp(AB’C’) là φ được tính bởi \(\cos \varphi  = {{\sqrt {30} } \over {10}},0^\circ  < \varphi  < 90^\circ \)