Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Trong không gian cho tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {xOA}  + \overrightarrow {yOB}  + \overrightarrow {zOC} \) với mọi điểm O.

b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {xOA}  + \overrightarrow {yOB}  + \overrightarrow {zOC} ,\) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Hướng dẫn giải

a. Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có \(\overrightarrow {AM}  = l\overrightarrow {AB}  + m\overrightarrow {AC} \)

hay \(\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OA}  = l\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right) + m\left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA} } \right)\) với mọi điểm O

tức là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1 - l - m} \right)\overrightarrow {OA}  + l\overrightarrow {OB}  + m\overrightarrow {OC} \)

đặt \(1 - l - m = x,l = y,m = z\) thì \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1.\)

b. Giả sử \(\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC} \) với \(x + y + z = 1,\) ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {OM}  = \left( {1 - y - z} \right)\overrightarrow {OA}  + y\overrightarrow {OB}  + z\overrightarrow {OC}   \cr  & hay\,\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OA}  = y\overrightarrow {AB}  + z\overrightarrow {AC}   \cr  & \text{ tức là }\overrightarrow {AM}  = y\overrightarrow {AB}  + z\overrightarrow {AC}  \cr} \)

Mà \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)