Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với $\alpha ,a,b$là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$, trong đó

$\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.$

a. Cho hai điểm $M\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,N\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'

b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'

c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?

d. Khi $\alpha = 0$, chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến

Hướng dẫn giải

a) M’ có tọa độ ${(x_1},{\rm{ }}y{_1})$ với $\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.$

N’ có tọa độ ${(x_2},{\rm{ }}y{_2})$ với $\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.$

b) Ta có $d=MN=\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}$

$\eqalign{ & d' = M'N' = \sqrt {{{\left( {x{'_1} - x{'_2}} \right)}^2} + {{\left( {y{'_1} - y{'_2}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\cos \alpha - \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\sin \alpha + \left( {{y_1} - {y_2}} \right)\cos \alpha } \right]}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}{{\cos }^2}\alpha } \cr & = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \cr}$

c) Từ câu b suy ra $MN=M'N'$ do đó $F$ là phép dời hình.

d) 

$Khi\,\,\alpha = 0,\,\,\text{ ta có }\,\,\left\{ \matrix{ x' = x + a \hfill \cr y' = y + b \hfill \cr} \right.$

Vậy $F$ là phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow u \left( {a;b} \right).$