Câu 37 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rẳng

a. mp(BDA’) // mp(B’D’C)

b.Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm G₁, G₂ của hai tam giác BDA’ và B’D’C

c. G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau

d. Các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD’, D’A’, A’B’,B’B cùng nằm trên một mặt phẳng

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh ( BDA’) // (B’D’C)

Ta có tứ giác BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên : BD // B’D’ và DA’ // B’C

⇒ hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song nhau từng đôi một nên chúng song song.

Vậy (BDA’) // (B’D’C).

b) Chứng minh G₁ , G₂ ∈ AC’

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.

Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi G₁ , G₂ lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O và O’C. Ta chứng minh G₁, G₂ lần lượt là trong tâm của ∆A’BD và ∆CB’D’.

Thật vậy, ta có ∆G₁OA đồng dạng ∆G₁A’C’ ( vì AC // A’C’)

\( \Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A'{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\)

⇒ G₁ là trọng tâm ∆A’BD.

Tương tự, G₂ là trọng tâm ∆CB’D’. Vậy AC’ đi qua G₁, G₂ .

c) Chứng minh AG₁ = G₁G₂ = G₂C’

Theo câu trên , ta có:

\({{A{G_1}} \over {{G_1}C'}} = {{AO} \over {A'C'}} = {1 \over 2}\) ( vì ∆G₁OA đồng dạng ∆G₁A’C’) \( \Rightarrow A{G_1} = {1 \over 3}AC'\)  (1)

Tương tự: \({{C'{G_2}} \over {{G_2}A}} = {{C'O'} \over {CA}} = {1 \over 2}\) ( vì ∆G₂C’O' đồng dạng ∆G₂AC) \( \Rightarrow C'{G_2} = {1 \over 3}AC'\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AG₁ = G₁G₂ = G₂C’.

d)

Gọi M, N, P, Q, S, R lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, DD’, C’D’, C’B’, B’B.

Ta có: \(\left\{ {\matrix{   {MN//BD}  \cr   {SP//BD}  \cr } } \right. \Rightarrow MN//SP\)

Gọi (α) = (MN, SP)

Ta có : \(\left\{ {\matrix{   {PQ//DC'}  \cr   {MS//AB'}  \cr } } \right. \Rightarrow PQ//MS\)

( vì DC’ // AB’)

⇒ PQ ⊂ (α) do đó Q ∈ (α).

Tương tự: QR // MN ⇒ QR ⊂ (α) do đó R ∈ (α).

Vậy M, N, P, Q, R, S ∈ (α).

Mặt khác vì \(\left\{ {\matrix{   {MS//AB'}  \cr   {NP//AD'}  \cr } } \right.\)  nên (MNPQRS) // (AB’D').