Câu 22 trang 151 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 22. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos {1 \over x}\) và hai dãy số \(\left( {x{'_n}} \right),\left( {x{"_n}} \right)\) với

\(x_n' = {1 \over {2n\pi }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x''_n= {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}}\)

a. Tìm giới hạn của các dãy số  \(\left( {x_n'} \right),\left( {x_n"} \right),\left( {f\left( {x_n'} \right)} \right)\,va\,\left( {f\left( {x_n"} \right)} \right)\)

b. Tồn tại hay không  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}?\)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \lim x_n' = \lim {1 \over {2n\pi }} = 0 \cr
& \lim x''_n = \lim {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}} = 0 \cr
& \lim f\left( {x{'_n}} \right) = \lim \cos 2n\pi = 1 \cr
& \lim f\left( {x{"_n}} \right) = \lim \cos \left( {2n + 1} \right){\pi \over 2} = 0 \cr} \)

b. Vì \(\lim f\left( {x{'_n}} \right) \ne \lim f\left( {x''{_n}} \right)\) nên không tồn tại  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}\)