Câu 19 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \(I\left( {{x_0};{y_o}} \right)\). Phép đối xứng tâm \({D_I}\) biến đường thẳng \(△\) thành đường thẳng \(△’\). Viết phương trình của \(△’\)

Hướng dẫn giải

Giả sử \(M (x , y) \in △\) và \(M’ (x’ , y ‘) \in △’\) và I là trung điểm  của MM’ nên:

\(x + x' = 2{x_0},\,\,y + y' = 2{y_0} \Rightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2{x_0} - x'} \cr {y = 2{y_0} - y'} \cr} } \right.\)

\(M(x , y) ∈△\) nên

\(\eqalign{
& a\left( {2{x_0} - x'} \right) + b\left( {2{y_0} - y'} \right) + c = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2a{x_0} + 2b{y_0} - ax' - by' + c = 0 \cr
& \Leftrightarrow ax' + by' + c - 2\left( {a{x_0} + b{y_0} + c} \right) = 0 \cr} \)

Vậy M’ nằm trên đường thẳng ảnh \(△’\) có phương trình:

\(ax + by + c – 2(ax_0+ by_0+ c) = 0\)