Câu 13 trang 18 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Bài 13. Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng A'B' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B (h.16). Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'.Chứng minh GOG' là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Gọi Q là phép quay tâm O, góc quay \({\pi \over 2}\) (bằng góc lượng giác (OA ; OB)). Khi đó Q biến A thành B và biến A’ thành B’, tức là biến tam giác OAA’ và OBB’

Bởi vậy Q biến G (trọng tâm tam giác OAA’) thành G’ (trọng tâm tam giác OBB’).

Suy ra \(OG = OG’\) và \(\widehat {GOG'} = {\pi \over 2}\)

Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O

Chú ý: Phép quay Q biến trọng tâm G tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ ảnh của △ABC qua Q được suy ra từ phép quay Q biến trung điểm I của đoạn thẳng