Bộ công thức đạo hàm chuẩn, đầy đủ nhất dành cho các bạn học sinh THPT

Lý thuyết về Đại số và Giải tích vô cùng đa dạng, một trong những học phần được đánh giá rất quan trọng đó là kiến thức về Đạo hàm - Nguyên phân - Vi hàm. Trong buổi hộc hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tiếp cận đến khái niệm đạo hàm và bộ công thức đạo hàm chuẩn nhất thường được sử dụng trong chương trình học bậc THPT. Vậy Đạo hàm là gì và các ứng dụng của nó là như thế nào?

I. Định nghĩa

1. Đạo hàm là gì?

Cho hàm số biến số thực y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) với \( (a;b)={x\in R |a}\). Xét giá trị \(x_{0}\in (a;b)\) và giá trị \(x\in (a;b),x\neq x_{0}.\)

Đặt \(Δx = x − x_0\)thì \(x = x_0+Δx\) và Δx được gọi là số gia đối số.

Đặt \(Δy = f(x)-f(x_0)\) và Δy được gọi là số gia hàm số. Xét tỷ số \(\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\). Nếu khi Δx→0, tỷ số đó dần tới một giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0. Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm.

Ký hiệu là \({\displaystyle f'(x)\,\!}\) hay \({\displaystyle {\dot {f}}(x)\,\!}.\)

\({\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}}}\)

2. Bảng đạo hàm cơ bản

\((c)'=0\)	\((tanx)'=\dfrac{1}{cos^2x}\)
\((x)'=1\)	\((cotx)'=\dfrac{-1}{sin^2x}\)
\((x^n)'=nx^{n-1}\)	\((e^x)'=e^x\)
\((\dfrac{1}{x})'=-\dfrac{1}{x^2}\)	\((a^x)'=a^x.lna\)
\((\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\)	\((lnx)'=\dfrac{1}{x}\)
\((sinx)'=cosx\)	\((log_ax)'=\dfrac{lna}{x}\)
\((cosx)'=-sinx\)

3. Bảng đạo hàm hàm hợp

\((u^n)'=n.u^{n-1}.u'\)	\((tanu)'=\dfrac{1}{cos^2u}.u'\)
\((\dfrac{1}{u})'=-\dfrac{1}{u^2}.u'\)	\((cotu)'=\dfrac{-1}{sin^2x}.u'\)
\((\sqrt u)'=\dfrac{1}{2\sqrt u}.u'\)	\((e^u)'=u'.e^u\)
\((sinu)=u'.cosu\)	\((a^u)'=u'.a^u.lna\)
\((cosu)'=-u'.sinu\)	\((lnu)'=\dfrac{1}{u}.u'\)
\((log_au)'=\dfrac{lna}{u}.u'\)

Bạn hoàn toàn có thể tham khảo thêm công thức đạo hàm chi tiết tại Công thức đạo hàm.

II. Đạo hàm lượng giác

Phần này chúng ta sẽ tìm hiểu các công thức đạo hàm của hàm số sin, cos, tan,... và của các hàm lượng giác ngược như đạo hàm arctan, arcsin,..

\((sinx)'=cosx\)

\((cosx)'=-sinx\)

\((tanx)'=(\dfrac{sinx}{cosx})'=\dfrac{cos^2x+sin^2x}{cos^2}=\dfrac{1}{cos^2}\)

\((cotx)'=(\dfrac{cosx}{sinx})'=\dfrac{-cos^2x-sin^2x}{sin^2}=\dfrac{-1}{sin^2}\)

\((arcsinx)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((arccosx)'=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)

\((arctanx)'=\dfrac{1}{1+x^2}\)

Với đạo hàm sin2x, cos2x,... ta áp dụng tương tự như công thức cơ bản đối với sinx, cosx,...

III. Bảng công thức đạo hàm Logarit

1. Đạo hàm Log

\((log_ax)'=\dfrac{lna}{x}\)

\((log_au)'=\dfrac{lna}{u}.u'\)

2. Đạo hàm Ln

\((lnx)'=\dfrac{1}{x}\)

\((lnu)'=\dfrac{1}{u}.u'\)

IV. Các công thức đạo hàm cấp cao

\((x^m)^{(n)}=m(m-1)...(m-n+1).x^{m-n}\)

\((lnx)^{(n)}= \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\)

\((a^x)^{(n)}=a^x.ln^na,a>0\)

\((sinx)^{(n)}=sin(x+n\dfrac{\pi}{2})\)

\((cosx)^{(n)}=cos(x+n\dfrac{\pi}{2})\)

\((e^x)^{(n)}= e^x\)

\((\dfrac{1}{x})^{(n)}=(-1).n!.x^{-n-1}\)

V. Tính đạo hàm bằng máy tính

Tính đạo hàm cấp 1:

Bước 1: Bấm \(SHIFT \leftrightarrow \int _\square^\square \square\)
Bước 2: Nhập biểu thức \(\dfrac{d}{dx}(f(X))_{X=x_0}\) và ấn bằng.

Tính đạo hàm cấp 2:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1 tại điểm \(x = x_0\)
Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 tại điểm \(x = x_0+n\)
Bước 3: Nhập vào máy tính \(\dfrac{Ans-PreAns}{X}\) và ấn bằng.

VI. Ứng dụng của đạo hàm

Việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình,...bằng các phương pháp như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học,...khá quen thuộc đối với các bạn chuẩn bị thi vào đại học. Tuy nhiên đối mặt với một bài toán dạng này các bạn ít nhiều còn lúng túng, chưa tìm được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng lại không đưa ra được kết quả cuối cùng! Để giải quyết các vấn đề trên ta sẽ sử dụng đến một số ứng dụng của đạo hàm sau đây:

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình
Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình
Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận phương trình và bất phương trình
Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn

VII. Luyện tập giải bài tập đạo hàm

Bài 1: Cho hàm số: \(f(x)=mx^2+2mx-3\)

Tìm m để phương trình: f(x) = 0 có nghiệm \(x\in[1;2]\)

Lời giải:

Biến đổi phương trình f(x) = 0 sao cho tham số nằm về một vế độc lập:

\( f(x) = mx + 2mx − 3 =0\leftrightarrow m(x^2+2x)=3\leftrightarrow \dfrac{3}{x^2+2x}=m\)

Đặt \(g(x):=\dfrac{3}{x^2+2x}=\dfrac{3}{(x+1)^2-1}=m\)

Bây giờ xét hàm g(x) trên [1;2], cụ thể như sau:

Vì \(g(x)=\dfrac{3}{(x+1)^2-1}\) là hàm liên tục trên [1;2], có đạo hàm

\(g'(x)=-\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^2-1}<0, \forall x \in [1;2]\) nên g(x) là hàm nghịch biến trên [1;2]

Do đó: \( \mathop {min }\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(2) = \frac{3}{8}\\ \mathop {Max}\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(1) = 1\)

Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán: \(\dfrac{3}{8}\le m\le1\)

Bài 2: Cho \(x\in(0;\dfrac{\pi}{2})\). Chứng minh:

1. sinx < x

2. tanx > x

Lời giải:

Xét hàm số: \(f(x)=sin x-x; \forall x(0;\dfrac{\pi}{2})\)

Đạo hàm: \(f'(x)= cosx-1<0;\forall x \in (0;\dfrac{\pi}{2})\)

Hàm số f(x) là hàm nghịch biến trên \((0;\dfrac{\pi}{2})\). Nên:

\(f(x) < f(0) = 0; \forall x \in (0; \dfrac{\pi}{2})\) \(\leftrightarrow sin x < x; \forall x \in (0;\dfrac{\pi}{2} )\)

Tương tự với trường hợp còn lại.

Ngoài ra bạn có thể tham khảo thêm một đố bài tập đạo hàm lớp 11 có lời giải sẵn tại:

Chúng tôi hy vọng rằng với những kiến thức về đạo hàm nói trên sẽ cung cấp cho bạn một lượng kiến thức cần thiết để giải các bài tập liên quan cũng như làm tốt các bài thi. Với trang web học hiện đại bạn có hoàn toàn có thể học mọi lúc, mọi nơi và vô cùng dễ hiểu. Chúc các bạn có một buổi học vui vẻ!

Bài trước

Có thể bạn quan tâm

Bài trước