Bài 42 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 42

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 3}\)với \(a,b \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b = {\pi  \over 4}\).

b) Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 5},\,\tan c = {1 \over 8}\) với \(a,b,c \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b + c = {\pi  \over 4}\).

Hướng dẫn giải

a) Biểu diễn hình học \(2 + i, 3 + i\) theo thứ tự bới M và N trong mặt phẳng phức

ta có: \(\tan \left( {Ox,\,OM} \right) = {1 \over 2} = \tan a\)

          \(\tan \left( {Ox,\,ON} \right) = {1 \over 3} = \tan b\)

Xét \(z.z' = (2 + i).(3 + i) = 5(1 + i) \)

               \(= 5\sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)

Số \(zz'\) có acgumen là \({{\pi  \over 4}}\), suy ra \(a + b = {\pi  \over 4}\)

b)

\({z_1} = 2 + i\) có một acgumen là a với \(\tan a = {1 \over 2}\)

\({z_2} = 5 + i\) có một acgumen là b với \(\tan b = {1 \over 5}\)

\({z_3} = 8 + i\) có một acgumen là c với \(\tan c = {1 \over 8}\)

Xét \(z = {z_1}{z_2}{z_3} = \left( {2 + i} \right)\left( {5 + i} \right)\left( {8 + i} \right) = 65\left( {1 + i} \right)\)

     \(\,\,\, = 65\sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = 65\sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\)

\(z\) có acgumen là \({\pi  \over 4}\), suy ra \(a + b + c = {\pi  \over 4}\)