Bài 4 trang 126 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác \(ABCD.A’B’C’D’\) có \(E, F, M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BD, AC’\) và \(BD’\). Chứng minh \(MN = EF\).

Hướng dẫn giải

Chứng minh \(MNFE\) là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Vì \(M\) là trung điểm của \(A’C\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(ME\) là đường trung bình của \(\Delta ACC' \Rightarrow \overrightarrow {EM}  = {1 \over 2}\overrightarrow {CC'}\,\,\,\,\, (1)\)

Tương tự ta có \(FN\) là đường trung bình của tam giác \(BDB'\): \(\Rightarrow \overrightarrow {FN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {BB'} \,\,\,\,\,(2)\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}\,\,\,\,\,\, (3)\)

Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\overrightarrow {EM}  = \overrightarrow {FN}\) hay tứ giác \(MNFE\) là hình bình hành, do đó \(MN = EF\).