Bài 3 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 3. Cho khối tứ diện \(ABCD, E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(AB\) và \(CD\). Hai mặt phẳng \((ABF)\) và \((CDE)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành bốn khối tứ diện.

a) Kể tên bốn khối tứ diện đó.

b) Chứng tỏ rằng bốn khôi tứ diện đó có thể tích bằng nhau.

c) Chứng tỏ rằng nếu \(ABCD\) là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Hai mặt phẳng \((ABF)\) và \((CDE)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành bốn khối tứ diện \(ADEF, ACEF, BDEF, BCEF\)

b) Vì \(F\) là trung điểm của \(CD\) nên mp \((ABF)\) chia khối tứ diện \(ABCD\) thành hai khối tứ diện \(ABCF\) và \(ABDF\) có thể tích bằng nhau.

Vì \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên mp \((CDE)\) lại chia mỗi khối tứ diện \(ABCF\) và \(ABDF\) thành hai khối tứ diện có thể tích bằng nhau.

Vậy \({V_{ADEF}} = {V_{ACEF}} = {V_{BDEF}} = {V_{BCEF}}\)

c) Nếu \(ABCD\) là tứ diện đều thì nó nhận mp \((ABF)\) và mp \((CDE)\) làm các mặt phẳng đối xứng và phép đối xứng qua đường thẳng \(EF\) biến tứ diện \(ADEF\) thành tứ diện \(BCEF\). Từ đó suy ra:

Khối tứ diện \(ADEF\) bằng khối tứ diện \(ACEF\) (vì chúng đối xứng với nhau qua mp \((ABF)\))

Khối tứ diện \(ADEF\) bằng khối tứ diện \(BDEF\) (vì chúng đối xứng với nhau qua mp \((CDE)\))

Khối tứ diện \(ADEF\) bằng khối tứ diện \(BCEF\) (vì phép đối xứng qua trục \(EF\) biến tứ diện này thành tứ diện kia)