Đăng ký

Tổng hợp các công thức tích phân và dạng bài tập liên quan

Hướng dẫn giải

Tổng hợp các công thức tích phân và dạng bài tập liên quan

Bộ công thức tích phân là một trong những phần hay gặp trong đề thi đại học. Nhằm gợi nhớ lại kiến thức và bồi dưỡng thêm kiến thức,  bài này sẽ trình bày chi tiết cho các bạn gồm các phần sau. Phương pháp tính tích phân, công thức tính tích phân suy rộng, mở rộng, lượng giác, cơ bản , từng phần, nguyên hàm..

I. Định nghĩa

1. Tích phân là gì?

Là phép lấy tích phân là cách ta muốn biểu diễn quy trình ngược lại của phép lấy đạo hàm. 

Ví dụ: Nếu ta biết rằng: \(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥} = 3𝑥 ^2\) và ta muốn biết hàm số nào đã đạo hàm ra được hàm số này?

Ta có \(𝑦 = 𝑥^3\) là một nguyên hàm của \(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥} = 3𝑥 ^2\) . Ngoài ra ta còn vô số nguyên hàm khác, chẳng hạn như: \(𝑦 = 𝑥 ^3 + 4 \\𝑦 = 𝑥^ 3 + 𝜋\\ 𝑦 = 𝑥^ 3 + 27.3\) Tổng quát, ta nói \(𝑦 = 𝑥 ^3 + 𝐾\) là tích phân bất định (hay nguyên hàm) của \(3𝑥 ^2\) . Con số 𝐾 được gọi là hằng số tích phân.

2. Dấu tích phân

Ký hiệu ∫ hình thành bởi sự kéo dài ký tự “𝑆” viết tắt của chữ “sum” (tổng) (Người Đức, Anh thời xưa viết chữ “𝑆” giống với ký hiệu tích phân bây giờ). ∑ là ký hiệu của “tổng”. Nó được dùng cho tổng hữu hạn hay vô hạn. ∫ là ký hiệu của tổng hữu hạn các diện tích vô cùng nhỏ (hoặc các biến vô cùng nhỏ khác). Ký hiệu chữ “𝑆” dài này được Lebniz giới thiệu khi ông phát triển một số khái niệm của tích phân.

3. Tích phân hằng số

\(∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐾\) (𝑘 và 𝐾 là các hằng số).

4. Tích phân lũy thừa của 𝒙

\(∫ 𝑥^ 𝑛 𝑑𝑥 = \dfrac{𝑥^{𝑛+1} }{𝑛 + 1} + 𝐾\) Công thức này đúng khi 𝑛 ≠ −1. Khi tích phân lũy thừa của 𝑥, ta thêm 1 vào lũy thừa và chia biến lũy thừa mới cho giá trị lũy thừa mới.

II. Bảng tích phân

1. Tích phân cơ bản

  • \(\int 0du= C, \int dx=x+C\)
  • \(\int u^adu=\dfrac{u^{a+1}}{a+1}+C\) với \(a\neq-1, a\in R\)
  • \(\int \dfrac{du}{u}=ln|u|+C\)
  • \(\int e^udu=e^u+C\)
  • \(\int cos u du= sin u +C\)
  • \(\int sin u du= -cos u +C\)
  • \(\int \dfrac{1}{cos^2u}du= tan u+C\)
  • \(\int \dfrac{1}{sin^2u}du= -cot u+C\)
  • \(\int \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}du= \left\{ \begin{array}{cc} arcsinu +C\\ -arccosu+C \end{array} \right.\)
  • \(\int \dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}}du= \left\{ \begin{array}{cc} arctanu +C\\ -arccotu+C \end{array} \right.\)

2. Tích phân từng phần

Công thức tính tích phân từng phần:

Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích:

\(d (uv)= udv+ vdu\)

Lấy tích phân cả hai vế ta được:

\(uv =\int udv +\int vdu\)

Từ đây ta có công thức sau:

\(\int udv =uv -\int vdu \)

3. Tích phân lượng giác

Giả sử ta cần tính tích phân

\(I= \int R(sin ,cos )dx\)

trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt \(t = tan \dfrac{x}{2}\). Thật vậy:

\(sinx = \dfrac{2t}{1+t^2},cosx= \dfrac{1-t^2}{1+t^2},x= 2 arctan t, dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}\)

Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng:

\(I= \int R (\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2}).\dfrac{2dt}{1+t^2}\)

4. Tích phân xác định

Cách tính tích phân xác định:

\(∫^b_a 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|^b_a = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)\)

  • 𝐹(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥).
  • 𝐹(𝑏) là giá trị nguyên hàm ứng với cận trên 𝑥 = 𝑏.
  • 𝐹(𝑎) là giá trị nguyên hàm ứng với cận dưới 𝑥 = 𝑎.

Biểu thức này gọi là tích phân xác định.

5. Tích phân mở rộng

tích phân mở rộng

Đặt ẩn phụ trong tích phân xác định:

Nhắc lại công thức lũy thừa của tích phân: \(∫ 𝑢 ^𝑛𝑑𝑢 = \dfrac{𝑢 ^{𝑛+1}}{ 𝑛 + 1} + 𝐾,\) (với 𝑛 ≠ 1)

Khi ta dùng ẩn phụ, tức ta đã thay đổi biến nên ta không thể dùng cận trên và cận dưới của biến đó. Ta có thể giải quyết bài toán theo cách của tích phân bất định, sau đó dùng cận trên và cận dưới. Giải bài toán theo biến mới và cận trên, cận dưới mới. Biểu diễn biến cũng như giá trị hai cận ban đầu trong toàn bộ quá trình đặt ẩn phụ.

Lưu ý: biểu thức không kèm theo hằng số tích phân và sau khi tích toán biểu thức, ta được một giá trị xác định. Ta sẽ sử dụng tích phân xác định để giải quyết nhiều vấn đề thiết thực. Đầu tiên, ta sẽ tính toán một vài bài tích phân xác định.

Mọi người cũng tìm kiếm:

5. Tích phân không xác định

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là f (x) dx: \(∫ f (x) dx = Fx + C\).

  • \( ∫Af (x) dx= A ∫ f (x) dx\) trong đó A là hằng số
  • \(\int (f_1(x)\pm f_2(x)=\int f_1(x)dx\pm f_2(x)dx\)

6. Tích phân hàm số hữu tỉ

Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng

I) \(\dfrac{A}{x-a}\), II) \(\dfrac{A}{(x-a)^k}\), III) \(\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}\), IV) \(\dfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^2}\)

trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là \(p^ 2 – 4q < 0\) . Bây giờ ta hãy khảo sát tích phân các phân thức hữu tỉ trên:

a) Dạng I: 

\(\int \dfrac{A}{x-a}dx= Aln|x-a|+C\)

b) Dạng II: 

\(\int\dfrac{A}{(x-a)^k}dx= -\dfrac{A}{k-1}.\dfrac{1}{(x-a)^{k-1}}+C(k\neq 1)\)

c) Dạng III:

\(\int\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}dx= \int \dfrac{\dfrac{M}{2}(2x+p)+(N-\dfrac{Mp}{2})}{x^2+px+q}dx\)

\(= \dfrac{M}{2}\int \dfrac{2x+p}{x^2+px+q}+(n-\dfrac{Mp}{2})\int \dfrac{dx}{x^2+px+q}\)

Ta xét tích phân thứ hai ở vế phải. Đặt \(x+\dfrac{p}{2}=t,q-\dfrac{p^2}{4}=a^2,dx=dt\)

Ta có: \(\int \dfrac{dx}{x^2+px+q}= \int \dfrac{dx}{(x+\dfrac{p}{2})^2}+q-\dfrac{p^2}{4}\)

\(= \dfrac{1}{a}arctan \dfrac{t}{a}+C=\dfrac{2}{\sqrt{4q-p^2}}arctan \dfrac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C\)

d) Dạng IV:

\(\int\dfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^2}dx= \int \dfrac{\dfrac{M}{2}(2x+p)+(N-\dfrac{Mp}{2})}{(x^2+px+q)^2}dx\)

HotBảng công thức logarit đầy đủ từ A đến Z để giải bài tập

III. Bài tập tích phân có lời giải

Bài 1: Tính: \(∫^5_1 (3𝑥^ 2 + 4𝑥 + 1 )𝑑𝑥 \)

Lời giải: Ta áp dụng công thức tính tích phân xác định:

Tìm nguyên hàm, sau đó viết cận trên, cận dưới như sau: \( (𝑥 ^3 + 2𝑥 ^2 + 𝑥)|^5_1\)

Ta viết cận trên và dưới như vậy để nhớ rằng ta sẽ thay chúng vào tích phân.

Tiếp theo, thay 5 (cận trên) vào tích phân: \((5) ^3 + 2(5)^ 2 + 5 = 180\) Sau đó thay 1 vào tích phân: \((1)^ 3 + 2(1)^ 2 + 1 = 4\)

Lấy kết quả trên trừ cho kết quả dưới, ta được câu trả lời: 180 − 4 = 176.

Bài 2: Tính tích phân :\(∫ 3𝑒 ^{4𝑥} 𝑑𝑥\)

\(∫ 3𝑒 ^{4𝑥} 𝑑𝑥\)

\(= ∫ 3(𝑒 ^𝑢) \dfrac{𝑑𝑢}{ 4} \)

\(= \dfrac{3}{ 4} ∫ 𝑒 ^𝑢 𝑑𝑢\)

\(= \dfrac{3}{ 4} 𝑒 ^𝑢 + 𝐾\)

\(= \dfrac{3 }{4} 𝑒^{4𝑥} +K\)

Bài 3: Tính tích phân \(∫ 𝑒 ^{x^4} 4𝑥 ^3 𝑑𝑥\)

Đặt \(𝑢 = 𝑥 ^4\) , khi đó \(𝑑𝑢 = 4𝑥^ 3 𝑑𝑥\). Tích phân của ta thành: \(∫ 𝑒 ^{x^4} 4𝑥 ^3 𝑑𝑥=∫ 𝑒^𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 ^𝑢 + 𝐾 = 𝑒^{ 𝑥^ 4} + K\)

IV. Ứng dụng tích phân

1. Ứng dụng Công

Trong vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như lái xe đạp.

Nếu có một lực biến thiên, thay đổi, ta dùng tích phân để tính công sinh ra bởi lực này. Ta dùng: \(𝑊 = ∫^b_a 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 \) với F(x) là lực.

2. Ứng dụng giá trị trung bình

Giá trị trung bình của hàm 𝑓(𝑥) trong miền 𝑥 = 𝑎 đến 𝑥 = 𝑏 được xác định bởi: Trung bình \(= \dfrac{∫^b_a 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥}{b-a}\).

3. Ứng dụng quãng đường

Nếu ta biết biểu thức vận tốc 𝑣 theo thời gian 𝑡, ta có thể biết quãng đường 𝑠 của một vật thể khi đi từ thời gian 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 bằng tích phân như sau:

\(𝑠 = ∫^b_a 𝑣 𝑑𝑡\)

Chú ý: Bạn có thể thấy từ những ứng dụng của tích phân trong công, tính giá trị trung bình, tính quãng đường, tích phân xác định không chỉ đơn thuần dùng để tích diện tích dưới đường cong.

Xem ngayỨng dụng tích phân

Tích phân là một kiến thức quan trọng trong chương đại số và giải tích bậc trung học phổ thông, cùng với đó là những ứng dụng trong giải các bài tập Toán học. Hy vọng rằng những kiến thức tổng hợp trên đã giúp bạn giải đáp được phần nào thắc mắc. Chúc các bạn học tập vui vẻ!