Công thức nghiệm và cách giải phương trình bậc 2 cần biết

Phương trình bậc 2 là một dạng bài tập phổ biến mà bạn có khả năng đã làm quen từ bậc trung học cơ sở. Nắm bắt được tâm lý chung của học sinh khi giải các bài tập liên quan chúng tôi đưa ra một bản tổng hợp về định nghĩa và phương pháp giải phương trình bậc hai. Hy vọng nó sẽ giúp ích bạn đọc!

I. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

\({\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}\)

với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao cho a khác 0. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay số hạng tự do.

II. Giải phương trình bậc 2

Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến thường được sử dụng trong chương trình giáo dục là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị.

    1. Phương pháp công thức nhân tử hóa

Đây là phương pháp phân tích một phương trình bậc hai về dạng tích của các nhân tử. Một khi biểu thức bậc hai đã được phân tích thành nhân tử, bạn có thể tìm được đáp án khả thi cho giá trị của x bằng cách cho từng nhân tử bằng không và giải. Vì đang cần tìm giá trị của x sao cho phương trình bằng không, bất kỳ x nào khiến một nhân tử bằng không cũng sẽ là nghiệm khả thi của phương trình đó.

Ví dụ: Giải phương trình sau \(x^2 + 5x + 6 = 0\) bằng phương pháp nhân tử chung?

 

\(x^2 + 5x + 6 = 0\)

\(\leftrightarrow (x+3)(x-2)=0\)

\(\leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x+3=0 \\ x-2=0 \\ \end{array}\right.\)

\(\leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-3 \\ x=2 \\ \end{array}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình bậc 2 là x = -3 hoặc x = 2

    2. Phương pháp phần bù bình phương

Trong đại số sơ cấp, phần bù bình phương là phương thức chuyển đổi một đa thức bậc hai theo dạng \({\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}\) thành dạng:

\({\displaystyle a(x-h)^{2}+k\,}\)

Theo nghĩa này, "hằng số k" không phụ thuộc vào x. Biểu thức bên trong dấu ngoặc đơn có dạng (x  −  k). Do đó, ta có thể chuyển đổi \({\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}\)  thành \({\displaystyle a(x-h)^{2}+k\,}\) và ta phải tìm h và k.

Ví dụ: Giải phương trình \(2x^2 + 4x − 4 = 0\) bằng phương pháp phần bù bình phương?

\({\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+2x=2}\)

\({\displaystyle \Leftrightarrow \ x^{2}+2x+1=2+1}\)

\({\displaystyle \Leftrightarrow \left(x+1\right)^{2}=3}\)

\({\displaystyle \Leftrightarrow \ x+1=\pm {\sqrt {3}}}\)

\({\displaystyle \Leftrightarrow \ x=-1\pm {\sqrt {3}}}\)

    3. Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc 2

Đối với phương trình \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) và biệt thức \(Δ=b^2−4ac\):

Công thức nghiệm của phương trinh bậc hai:

+) Nếu Δ>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x1= \dfrac{−b+\sqrt△}{2}\)  và \(x2= \dfrac{−b-\sqrt△}{2}\)

+) Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép \(x1=x2=−\dfrac{b}{2a}\)

+) Nếu Δ<0 thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Do đó \(Δ=b^2−4ac>0\). Vì thế phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau: \(2x^2−7x+3=0\)

\(2x^2−7x+3=0\)

Ta có:  a=2, b=−7, c=3 

Suy ra \(Δ=b^2−4ac=(−7)^2−4.2.3=25>0\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{−(−7)−\sqrt{25}}{2.2}=\dfrac{7−5}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(x_2=\dfrac{−(−7)+\sqrt{25}}{2.2}=\dfrac{7+5}{4}=\dfrac{12}{4}=3\)

    4. Phương pháp đồ thị

Phương pháp giải:
Ta biết rằng hàm số: \(y = ax^2 + bx + c\), với a ≠ 0 được gọi là Parabol (P), có đồ thị:

 
Số nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) chính bằng số giao điểm của đồ thị parabol \(y = ax^2 + bx + c\) với trục hoành.
Để biện luận theo tham số m, số nghiệm của phương trình: \(ax^2 + bx + c = m\)
ta xét vị trí tương đối của đường thẳng (d): y = m với Parabol (P): \(y = ax^2 + bx + c\)
Để giải một phương trình bằng phương pháp đồ thị ta thực hiện tuần tự theo các bước sau đây:

• Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng: \(ax^2 + bx + c = g(m)\)
• Bước 2: Vẽ (P): \(y = ax^2 + bx + c\)
• Bước 3: Khi đó, số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng (d): y = g(m) với Parabol (P): \(y = ax^2 + bx + c\).
• Bước 4: Bằng việc dịch chuyển đường thẳng (d) song song với Ox ta sẽ nhận được kết luận tương ứng.
• Bước 5: Kết luận.

Chú ý: Phương pháp này tỏ ra đặc biệt hiệu quả với yêu cầu về nghiệm thuộc (α; β) cho trước.

III. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai

• Phương trình trùng phương: \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), (a ≠ 0) (*)

Phương pháp: đặt \(t = x^2 ≥ 0\) thì (*) \(⇔ at^2 + bt + c = 0\)

•  \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\) với \(\dfrac{e}{a} =\dfrac{d}{b}^2 ≠ 0\)

Phương pháp: Chia hai vế cho \(x^2 ≠ 0\), rồi đặt \(t = x + \dfrac{a}{x} ⇒ t^2 = (x + \dfrac{a}{x})^2\) với \(a = \dfrac{d}{b}\)

•  \((x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex^2\) với \(a.b = c.d\)

Phương pháp giải: Đặt \( t = x^2 + ab + \dfrac{a+b+c+d}{2}x\) thì phương trình

\(⇔ (t + \dfrac{a+b-c-d}{2}x)(t - \dfrac{a+b-c-d}{2}x) = ex^2\) (có dạng đẳng cấp)

•  \((x+a)^4 + (x+b)^4 = c\)

Phương pháp giải: Đặt \(x = t-\dfrac{a+b}{2} ⇒ (t + a)^4 + (t - a)^4 = c\) với \(a = \dfrac{a-b}{2}\)

 

IV. Giải bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng:

\({\displaystyle a.x^{2}+b.x+c>0\,}\),trong đó a ≠ 0.

Đặt \(Δ = b^2 - 4ac\). Ta có các trường hợp sau:

     1. Nếu Δ < 0 và:

• a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: \({\displaystyle \varnothing }\).
• a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: \({\displaystyle \mathbb {R} }.\)

    2. Nếu Δ = 0 và:

• a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: \({\displaystyle \varnothing }.\)
• a > 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: \( {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-b}{2a}}\right\}}\)

    3. Nếu Δ > 0 , gọi \(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a.x^2 + b.x + c = 0\) với:

\({\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}};\quad \quad x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}\)

Khi đó:

• Nếu a > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: \({\displaystyle (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )}\)
• Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: \({\displaystyle (x_{1};x_{2})\,}\)

Để củng cố phần bài tập này các bạn nên dành nhiều thời gian hơn để luyện tập, vì phương trình bậc hai được đánh giá là một học phần với rất nhiều dạng bài tập. Mời các bạn tham khảo những bài tập cơ bản sau đây:

• Bài 62 trang 64 SGK toán 9 tập 2
• Giải bài 57 trang 63 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2
• Giải bài 59 trang 63 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2
• Giải bài 55 trang 63 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2
• Giải bài 60 trang 64 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Ngoài ra, để nắm vững kiến thức về giải phương trình bậc 2 chương trình nâng cao chúng tôi có tổng hợp bộ câu hỏi có lời giải tại đây Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn - Toán lớp 10 Nâng cao, mời các bạn tham khảo thêm.

Trong quá trình học tập, nếu các bạn vẫn chưa hiểu rõ về cách giải phương trình bậc 2, vậy cùng học vui mời các bạn cùng tham khảo và tìm hiểu cách giải mà chúng tôi đã tổng hợp được trên đây. Mọi ý kiến thắc mắc xin vui lòng để dưới mục bình luận chúng tôi sẽ cố gắng phản hồi sớm nhất. Chúc các bạn có một buổi học vui vẻ!