Các phép biến hình lớp 11

Các phép biến hình lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết phép biến hình toán 11!

I. Phép tịnh tiến?

1. Định nghĩa

Phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {v}=(a;b)\) là một dạng đặc biệt của phép biến hình, biến điểm M đã cho thành M' sai cho \(\overline {MM'}=\overrightarrow {v}\).

Được ký hiệu \(T_{\overrightarrow {v}}(M)=M'\) hoặc \(T_{\overrightarrow {v}}: M\rightarrow M'\).

2. Tính chất

- Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M' và N' thì M'N'=MN.

- Định lý 2: Với trường hợp đặc biệt của ba điểm thẳng hàng thì  việc áp dụng phép tịnh tiến sẽ không gây ra những thay đổi về mặt thứ tự của các điểm đó.

3. Hệ quả

- Đường thẳng ban đầu sau khi áp dụng phép tịnh tiến sẽ cho ra một đường thẳng mới song song với đường thẳng cũ hoặc đặc biệt là trùng nhau với đường thẳng ban đầu.

- Đoạn thẳng mới tạo ra có độ dài đúng bằng đoạn ban đầu.

- Đối với trường hợp là tam giác thì sẽ cho ra một tam giác mới bằng hoàn toàn với tam giác cũ.

- Đối với trường hợp đường tròn cũng tương tự như tam giác sẽ tạo ra một đường tròn bằng so với đường tròn ban đầu.

- Đối với trường hợp là góc cũng tương tự như hai trường hợp trên.

4. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow {v}=(a;b);M(x;y);M'(x';y')\)

Khi đó ta định nghĩa phép tịnh tiến: \(T_{\overrightarrow {v}}(M)=M'\) có biểu thức tọa độ là: \(\begin{align} \begin{cases} x'=x+a \\ y'=y+b \end{cases}\end{align}\)

II. Phép đối xứng trục

1. Định nghĩa

Phép đối xứng trục d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho d là đường trung trực của MM’.

- Ký hiệu: \(Đ_d(M) = M’\)

- Nhận xét:

+ \(Đ_d(M) = M’ ⇒ Đ_d(M’) = M \)

+ \(M ∈ d⇒ Đ_d(M) = M\)

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua Ox, Oy

+ \(Đ_{Oy}(M) = M’\) có biểu thức tọa độ \(\begin{align} \begin{cases} x_0'=-x_0 \\ y'_0=y_0 \end{cases}\end{align}\)

+ \(Đ_{Ox}(M) = M\)’ có biểu thức tọa độ \(\begin{align} \begin{cases} x_0'=x_0 \\ y'_0=-y_0 \end{cases}\end{align}\)

3. Tính chất

- TC 1. Đối với hai điểm ban đầu cho trước, khoảng cách trong phép đối xứng luôn được ban toàn nguyên vẹn.

- TC 2. Đường thẳng khi lấy đối xứng sẽ cho ra một đường thẳng mới và tương tự đối với trường hợp khi đó là đoạn thằng, tam giác hay đường tròn có bán kính tương tự.

4. Trục đối xứng của một hình

Một điểm khi lấy một đườn thẳng nào đó làm trục đối xứng thì khi ta thực hiện lấy điểm đối xứng sẽ cho ra một điểm hoặc nằm ở nửa kia đường thẳng hoặc trùng với điểm ban đầu.

 Bài tập phép biến hình lớp 11

III. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa

Áp dụng đối với một mặt phẳng bất kì và một điểm E cho trước thuộc mặt phẳng. Phép biến hình biến điểm M của mặt phẳng thành điểm M’ sao cho \(\overline {EM'}=-\overline{EM}\)được gọi là phép đối xứng tâm E.

Ký hiệu: \(Đ_E(M) = M’\)

2. Tính chất cơ bản

Định lý 1:Nếu \(Đ_E(M) = M’; Đ_E(N) = N\)’ thì \(\begin{align} \begin{cases} M'N'=MN \\ \overline{M'N'}=-\overline{MN} \end{cases}\end{align}\)

Định lý 2: Nếu 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối tâm biến thành 3 điểm M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Nhận xét: Đối với các trường hợp lấy đối xứng ta luôn tìm thấy một hình ảnh phản diện tương đương với hinfhn ảnh ban đầu ví dụ đối với đường thẳng thì cho ra một đường đối xứng tương tự. Cách diễn giải này hoàn toàn thích hợp trong việc giải thích về một đoạn thẳng đối xứng, một hình tròn và một tam giác đối xứng, một góc tương tự đối xứng.

3. Biểu thức tọa đọ của phéo đối xứng tâm

Xét trong một hệ mặt phẳng bất kỳ và một điểm E với tọa độ cho trước và điểm \(M(x_0;y_0)\). \(Đ_E(M) = M’(x'_0;y'_0)\) có biểu thức tọa độ là:

\(\begin{align} \begin{cases} x_0'=2a-x_0 \\ y_0'=2a-y_0 \end{cases}\end{align}\)

IV. Bài tập

Bài 1: Cho A(3;4). Tìm tọa độ \(A'=Q_{(o;90^0)}(A)\)

Bài 2: Cho A(2;0), d: x + y - 2 = 0. Xác định hình ảnh phản diện ứng với điểm A đó qua trục chiếu d với phép quay có góc quay 90 độ

Bài 3: Một hình vuông ABCD cho trước có một tâm I(1;2). Biết đỉnh A(4;5). Tìm tọa độ B; C; D

Bài 4: Cho d: x + y + 1 = 0; I(1;-2). Phép quay \(Q_{(o;90^0)}(d)=d'\). Xác định phương trình của d’.

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ : 2x -y +1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng ∆ qua :

a) Phép đối xứng tâm I(1; -2)

b) Phép quay \(Q_{(o;90^0)}\)

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm phép quay Q biến A(-1;5) thành B(5;1)

Bài 7: ∆ABC đều có tâm O và phép quay \(Q_{(o;120^0)}\)

a) Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C qua phép quay \(Q_{(o;120^0)}\)

b) Xác định ảnh của ∆ABC qua phép quay \(Q_{(o;120^0)}\).

Bài 8: Cho hình vuông ABCD tâm O

a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay \(Q_{(o;90^0)}\)

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua \(Q_{(o;90^0)}\)

Bài 9: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm AB; N là trung điểm OA. Tìm ảnh của ∆AMN qua phép quay \(Q_{(o;90^0)}\)

Bài 10: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d. M là điểm di động trên d. Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho ∆OMN đều.

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phép biến hình có đáp án trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!