Bài 64 trang 87 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng: Nếu MN < MP thì HN < HP  và  \(\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\) (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).

Hướng dẫn giải

- Áp dụng quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu.

- Áp dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.

Lời giải chi tiết

+ Nếu góc N nhọn (hình a)

∆MNP có \(\hat N\) nhọn nên chân đường cao H kẻ từ M nằm giữa N và P.

Ta có hình chiếu của MN và MP lần lượt là HN và HP.

Từ giả thiết MN

∆MNP có MN

Lại có  \(\widehat {NMH} + \widehat {MNH} = {90^o}\) (∆MNH vuông tại H)   (2)

          \(\widehat {MPH} + \widehat {PMH} = {90^o}\) (∆MHP vuông tại H)     (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  \(\widehat {NMH} <\widehat {pmh}\)

+ Nếu góc N tù (hình b)

∆MNP có  \(\hat N\) tù nên chân đường cao H ở ngoài cạnh NP và N ở giữa H và P

\( \Rightarrow\)  HN

Vì N ở giữa H và P nên tia MN ở giữa hai tia MH và MP. Từ đó suy ra  \(\widehat {HMN} <\widehat {hmp}\).

(Giải thích ở phần (1; 2; 3): nếu tổng của hai cặp số cùng bằng nhau (bằng \( 90^o\) chẳng hạn) thì số nào cộng với số lớn hơn thì nhỏ hơn số kia. Tức là:

\(a + b = 90^o ; \quad \quad c + d = 90^o\) 

mà \(b > d\) thì suy ra \(a