Bài 29 trang 27 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 29. Xác định đỉnh \(I\) của mỗi parabol \((P)\) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).

a) \(y = 2{x^2} - 3x + 1;\)          b) \(y = {1 \over 2}{x^2} - x - 3;\)

c) \(y = x - 4{x^2}\);                    d) \(y = 2{x^2} - 5\);

Hướng dẫn giải

a) \(y' = 4x - 3;y' = 0 \Leftrightarrow x = {3 \over 4};y\left( {{3 \over 4}} \right) =  - {1 \over 8}\)

Đỉnh \(I\left( {{3 \over 4}; - {1 \over 8}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {3 \over 4} \hfill \cr
y = Y - {1 \over 8} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y - {1 \over 8} = 2{\left( {X + {3 \over 4}} \right)^2} - 3\left( {X + {3 \over 4}} \right) + 1 \Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)

b) \(y' = x - 1;y' = 0 \Leftrightarrow x = 1;y\left( 1 \right) =  - {7 \over 2}\) 

Đỉnh \(I\left( {1; - {7 \over 2}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = 1 + X \hfill \cr
y = - {7 \over 2} + Y \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y - {7 \over 2} = {1 \over 2}{\left( {X + 1} \right)^2} - \left( {X + 1} \right) - 3 \Leftrightarrow Y = {1 \over 2}{X^2}\)

c) \(y' = 1 - 8x;y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 8};y\left( {{1 \over 8}} \right) = {1 \over {16}}\)

Đỉnh \(I\left( {{1 \over 8};{1 \over {16}}} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X + {1 \over 8} \hfill \cr
y = Y + {1 \over {16}} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y + {1 \over {16}} = X + {1 \over 8} - 4{\left( {X + {1 \over 8}} \right)^2} \Leftrightarrow Y =  - 4{X^2}\)

d) \(y' = 4x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left( 0 \right) =  - 5\)

Đỉnh \(I\left( {0; - 5} \right)\)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

\(\overrightarrow {OI} :\left\{ \matrix{
x = X \hfill \cr
y = Y - 5 \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\) là

\(Y - 5 = 2{X^2} - 5 \Leftrightarrow Y = 2{X^2}\)