Bài 2 trang 99 SGK Đại số 10

Đề bài

 Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn sau.

a) \(\left\{\begin{matrix} x-2y<0\\ x+3y>-2 \\ y-x<3; \end{matrix}\right.\)                       

b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1<0\\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\leq 2 \\ x\geq 0. \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Ta biểu diễn hình học tập nghiệm của từng bất phương trình của hệ, nghiệm chung của chúng chính là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình \(ax + by \le c\left( {ax + by \ge c} \right)\)

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.

Bước 2: Lấy một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc (d) (ta thường lấy gốc tọa độ).

Bước 3: Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh  \(a{x_0} + b{y_0}\) với c.

Bước 4: Kết luận:

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0} \le c\).

+) Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M là miền nghiệm của \(a{x_0} + b{y_0}  \ge  c\).

Lời giải chi tiết

a) 

\(\left\{ \matrix{x - 2y < 0 \hfill \cr x + 3y > - 2 \hfill \cr y - x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y > {1 \over {2x}}} \cr {y > - {1 \over 3}x - {2 \over 3}} \cr {y < x + 3} \cr} } \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch sọc ở hình bên dưới (không kể các bờ).

b) 

\(\left\{ {\matrix{{{x \over 3} + {y \over 2} - 1 < 0} \cr {x + {1 \over 2} - {{3y} \over 2} \le 2} \cr {x \ge 0} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ {\matrix{{y < - {2 \over 3}x + 2} \cr {y \ge {2 \over 3}x - 1} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\) bao gồm cả các điểm trên cạnh \(AC\) và cạnh \(BC\) (không kể các điểm của cạnh \(AB\)).