Bài 2 trang 128 SGK Đại số 10

Đề bài

Hai lớp \(10C, 10D\) của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được thình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây:

Điểm thi Ngữ văn của lớp \(10C\)

Điểm thi Ngữ văn của lớp \(10D\)

a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.

b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ văn ở lớp nào là đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Công thức tính trung bình cộng:

+) Trong bảng phân bố tần số: \(\overline x  = \frac{{{x_1}{n_1} + {x_2}{n_2} + ....... + {x_k}{n_k}}}{n}.\)

+) Trong bảng phân bố tần số ghép lớp: \(\overline x  = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + ....... + {c_k}{n_k}}}{n}.\)

Công thức tính phương sai:

+) Trong bảng phân bố tần số: \({s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{n_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{n_2} - \overline x } \right)}^2} + ........ + {n_k}{{\left( {{n_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n}.\)

+) Trong bảng phân bố tần số ghép lớp: \({s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ........ + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n}.\)

Cách 2: \({s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}.\)

với \(\overline {{x^2}}  = \frac{{x_1^2{n_1} + x_2^2{n_2} + ....... + x_k^2{n_k}}}{n}.\)

Công thức tính độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt{s^2}.\)

Lời giải chi tiết

a) Số trung bình điểm thi Ngữ văn của lớp \(10C\) và \(10D\) tương ứng là

\(\overline{x}=\frac{1}{40}.(3\times 5 + 7\times 6 + 12\times 7 \)\(+ 14\times 8 + 3\times 9 + 1\times10) = 7,25\)

\(\overline{y}=\frac{1}{40}.(8\times6+18\times7+10\times8\)\(+4\times 9) = 7,25\).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overline {{x^2}} = \frac{{{{3.5}^2} + {{6.7}^2} + {{12.7}^2} + {{14.8}^2} + {{3.9}^2} + {{1.10}^2}}}{{40}}\\ = 53,85.\\
\overline {{y^2}} = \frac{{{{8.6}^2} + {{18.7}^2} + {{10.8}^2} + {{4.9}^2}}}{{40}} = 53,85.
\end{array}\)

Phương sai bảng điểm thi Văn của hai lớp theo thứ tự là:

\(S_{x}^{2}=\overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}= 1,2875\)                    

\(S_{y}^{2}=\overline {{y^2}}  - {\left( {\overline y } \right)^2}= 0,7875\).

Độ lệch chuẩn theo thứ tự là \(S_x=\sqrt{S_x^2}≈ 1,1347\);  \(S_y=\sqrt{S_y^2}≈ 0,8874\).

b) Qua xem xét các số đặc trung ta thấy điểm trung bình thi văn \(2\) lớp \(10C\) và \(10D\) là như nhau (đều bằng \(7,25\)). Nhưng phương sai của bảng điểm thi lớp \(10D\) nhỏ hơn phương sai tương ứng ở lớp \(10C\). Điều đó chứng tỏ kết quả làm bài thi Văn ở lớp \(10D\) đồng đều hơn.