Lý thuyết và giải bài tập cấp số cộng đầy đủ nhất đừng nên bỏ qua

Lý thuyết và giải bài tập cấp số cộng đầy đủ nhất 

Với những bạn học sinh đầu lớp 6 thì khái niệm cấp số cộng mới bắt đầu làm quen nên còn khá lạ lẫm, nhưng đừng lo vì chỉ cần các bạn chăm chỉ tìm hiểu thì các bạn đã có thể tiếp cận được với kiến thức một cách chi tiết và đầy đủ rồi. Hãy tham khảo bài viết dưới đây của chúng tôi để các bạn có thể hiểu chi tiết về công thức cấp số cộng có liên quan 

 I. Định nghĩa     

Cấp số cộng là gì???

• Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng hai trở đi, mỗi số đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d
• Số d gọi là công sai của cấp số cộng
• Trường hợp khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi ( tất cả các số hạng đều bằng nhau )

Nhận xét: 

1. Nếu (\(u_n\) ) là cấp số cộng với công sai d ta có công thức truy hồi như sau: 

\(u_{n+1}=u_n + d, \forall n\in N^*\)

2. Cấp số cộng (\(u_n\)) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0 

3. Cấp số cộng (\(u_n\)) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0 

II. Số hạng tổng quát 

Nếu cấp số cộng (\(u_n\)) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức:

\(u_n = u_1 + ( n-1)d, \forall n\geq2\)

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm một số lý thuyết tại đây

III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng 

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

\(u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}\) với \(k \geq 2\)

IV. Công thức tính tổng cấp số cộng 

 Cho cấp số cộng (\(u_n\)). đặt \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + .... + u_n\). Khi đó:

\(S_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}\) hoặc \(S_n = nu_1+ \dfrac{n(n-1)}{2}d\)

V. Một số bài tập cấp số cộng có lời giải 

Bài 1: Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số hạng cuối là 45 và tổng số là 400. Tìm n và công sai d

A. n = 160, d = 3

B. n = 16,  \(d= \dfrac {8}{3}\)

C. n = 12, \(d= \dfrac {1}{2}\)

D. n = 160, \(d = \dfrac {8}{3}\)

Giải: 

\(S_n = \dfrac {n(u_1+u_n)}{2}\)\(\leftrightarrow\) \(2 S_n = n(u_1 + u_n )\)

\(\leftrightarrow\)\(n= \dfrac {2S_n}{u_1+u_n}= \dfrac {2.400}{5+45} = 16\)

\(u_n = u_1 +(n-1)d \leftrightarrow d= \dfrac {u_n -u_1}{n-1}= \dfrac {8}{3}\)

Bài 2: Tìm m để phương trình: \(x^4 - (3m+5) x^2 + (m+1)^2 =0\)  có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng?

A. m = 5, m = \(- \dfrac {25}{19}\)

B. m = 5

C. m = \(- \dfrac{25}{19}\)

D m = \(\sqrt{2}\), m  = \(- \dfrac {25}{19}\)

Giải: 

Giải sử bốn nghiệm phân biệt của phương trình: \(x_1, x_2,x_3,x_4\)

Đặt \(x^2 =y \geq 0\), ta được phương trình:

\(\leftrightarrow y^2 - (3m+5) y + (m+1)^2=0\) (1)

Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt : \(0 < y_1 < y_2\),  Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là: \(x_1 = - \sqrt {y_2}, x_2 = -\sqrt {y_1},x_3 = \sqrt {y_1}, x_4 = \sqrt {y_2}\)( Rõ ràng: \(x_1 < x_2 <x_3 < x_4\))

Theo dữ kiện đề bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên:

\(\rightarrow x_3+x_1=2x_2 V x_4 +x_2=2x_3 \leftrightarrow \sqrt {y_1} - \sqrt{y_2} =2\sqrt{y_1} \rightarrow 3 \sqrt{y_1} =\sqrt {y_2} \leftrightarrow 9 y_1 =y_2\) (*)

Áp dụng Vi-ét cho phương trình (1) ta có hệ:

\(\begin{align} \begin{cases} \Delta = (3m+5)^2 -4(m+1)^2>0 \\ S = y_1 + y_2 = 10y_1 = 3m+5 \\ P = y_1.y_2 =9y_1^2 =(m+1)^2 \end{cases}\end{align}\)

\(\leftrightarrow\)\(\begin{align} \begin{cases} m=5 \\ m= -\frac{25}{19} \\ \end{cases}\end{align}\)

Vậy chọn đáp án A

Để các bạn có thể nắm chắc được kiến thức cũng như cách làm dạng bài tập này thì hãy chăm chỉ làm bài tập có trau dồi cho bản thân nhé. Và cũng sẽ cung cấp cho các bạn một bài tập đã có kèm lời giải để các bạn có thể tham khảo trong quá trình học tập 

Câu 19 trang 114 SGK Nâng cao 11

Câu 25 trang 115 SGK Nâng cao 11

câu 38 trang 121 SGK Nâng cao 11

câu 40 trang 122 SGK Nâng cao 11

câu 42 trang 122 SGK Nâng cao 11

Hi vọng rằng những kiến thức cùng với bài tập dạng công thức tính cấp số cộng sẽ mang đến cho các bạn học sinh thật nhiều hữu ích. Trong quá trình không thể tránh khỏi sai sót nên rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía các bạn để chúng tôi hoàn thiện bài viết của mình hơn nữa. Chúc các bạn học tập tốt 

 

 

\(\)