Bài 89 trang 111 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB, E\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D\).

a) Chứng minh rằng điểm \(E\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(AB\).

b) Các tứ giác \(AEMC, AEBM\) là hình gì? Vì sao?

c) Cho \(BC = 4cm\), tính chu vi tứ giác \(AEBM\).

d) Tam giác vuông \(ABC\), có điều kiện gì thì \(AEBM\) là hình vuông?

Hướng dẫn giải

Áp dụng: - Tính chất đường trung bình của tam giác.

- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi, hình vuông.

- Tính chất tam giác cân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) ),

\(BD = DA\) (vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) )

nên \(MD\) là đường trung bình của \(∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Do đó \(MD // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do \(AC ⊥ AB\) (gt) nên \(MD ⊥ AB\) 

Ta có \(AB\) là đường trung trực của \(ME\) (do \(AB ⊥ ME\) tại \(D\) và \(DE = DM\)) nên \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\).

b) Ta có: \(EM // AC\) (do \(MD // AC\))

\(EM = AC\) (cùng bằng \(2DM\))

Nên \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành \(AEBM\) có \(AB ⊥ EM\) nên là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

c) Ta có \(BC = 4 cm \Rightarrow BM = 2 cm\) (tính chất trung tuyến)

Chu vi hình thoi \(AEBM\) bằng \(4.BM = 4. 2 = 8(cm)\)

d) Cách 1 :

Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔ AB = EM ⇔ AB = AC\)

Vậy nếu \(ABC\) vuông có thêm điều kiện \(AB = AC\) (tức là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\)) thì \(AEBM\) là hình vuông.

Cách 2 :

Hình thoi \(AEBM\) là hình vuông \(⇔AM ⊥ BM\)

\(⇔∆ABC\) có trung tuyến \(AM\) là đường cao

\(⇔∆ABC\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Vậy nếu \(∆ABC\) vuông có thêm điều kiện cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.