Vecto - Chuyên đề bất đẳng thức quan trọng trong toán học

Hướng dẫn giải

Vecto - Chuyên đề bất đẳng thức quan trọng trong toán học

Bài viết sau đây là sẽ giúp bạn tổng hợp các kiến thức liên quan đến bất đẳng thức vecto. Có thể nói, đây là một dạng khá mới mẻ với nhiều bạn học sinh nhưng nó lại là một công thức rất quan trọng, được ứng dụng trong các bài tập chứng minh. Để làm tốt dạng bài tập này, hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nhé!

I. Định nghĩa

Vecto là gì?

Trong toán học sơ cấp, vecto (Vector trong tiếng Anh hay trong Hán-Việt là hướng lượng) là một đoạn thẳng có hướng. Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vecto \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\).

Trong toán học cao cấp, một vec to là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài).

II. Các phép tính cơ bản đối với vecto

1. Cộng hai vecto

  • Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\) và \({\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}\) là một vectơ được xác định theo quy tắc:
  • Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ \({\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}\) sao cho điểm đầu C của \({\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}\) trùng với điểm cuối B của \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\): C = B. Khi đó vectơ \({\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}\) có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
  • Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ \({\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}\) đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\). Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\) và \({\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}\), chiều từ gốc A đến điểm cuối.

Tính chất:

  • Tính chất giao hoán \({\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}\)
  • Tính chất kết hợp \({\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})}\)
  • Tính chất của vectơ-không \({\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}}\)

2. Trừ hai vecto

Vectơ đối của vectơ \( {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\) là vectơ \( {\displaystyle {\overrightarrow {BA}}}\).

Ký hiệu: \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\)

Ta có: \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\) \({\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}\) = \({\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}\) +(-\({\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}\)).

3. Nhân 2 vecto

Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có

  • \({\displaystyle k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}} \)
  • \({\displaystyle (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}}\)
  • \({\displaystyle h(k{\vec {a}})=(hk){\vec {a}}}\)
  • \({\displaystyle 1.{\vec {a}}={\vec {a}},(-1).{\vec {a}}=-{\vec {a}}}\)

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng () của hai vectơ a và b nhân với cosin của góc α giữa hai vectơ đó, ký hiệu là: \({\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}})}\)

\({\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \alpha }\)

Các tính chất của tích vô hướng

  • Tính chất giao hoán \({\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}={\vec {b}}.{\vec {a}}}\)
  • Tính chất phân phối \({\displaystyle {\vec {a}}.({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}.{\vec {b}}+{\vec {a}}.{\vec {c}}}\)
  • \({\displaystyle (k{\vec {a}}).{\vec {b}}=k({\vec {a}}.{\vec {b}})={\vec {a}}(k{\vec {b}})}\)
  • \({\displaystyle {\vec {a}}^{2}\geq 0,{\vec {a}}^{2}=0\Leftrightarrow {\vec {a}}=0}\)

Một số tính chất mở rộng

  • \({\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}+2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}\)
  • \({\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}-2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}\)
  • \({\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}}).({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}}\)

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

\({\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}}\)

Hai vectơ \({\displaystyle {\vec {a}}}\)=(\({\displaystyle a_{1};a_{2})}\)\({\displaystyle {\vec {b}}}\)=(\({\displaystyle b_{1};b_{2})} \) đều khác \({\displaystyle {\vec {0}}}\) và vuông góc với nhau khi và chỉ khi \({\displaystyle a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}=0}\).

Có thể bạn quan tâm: 

III. Bất đẳng thức vecto

1. Độ dài vecto

Trong mặt phẳng tọa độ hệ trục Oxy, vecto \(\overrightarrow{x}=(x_1;y_1)\) có độ dài là \(|\overrightarrow{x}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)

Trong không gian với hệ trục tọa Oxyz, vecto \(\overrightarrow{x}=(x_1;y_1;z_1)\) có độ dài là: \(\overrightarrow{x}=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)

2. Bất đẳng thức vecto

Cho hai vecto \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có:

  • \(\displaystyle \overrightarrow{(a)}_{{}}^{2}=\left| \overrightarrow{a} \right|_{{}}^{2}\ge 0\) khi \( \overrightarrow{a}= \overrightarrow{0}\)
  • \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\le|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\) khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng chiều.
  • \(|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}|\le|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|\) khi \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.

Áp dụng nếu \(\vec{u} (x_1;y_1), \vec{v}(x_2;y_2)\) ta có:

  • \(\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \ge \sqrt{(x_1+x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2}\)
  • \(\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \ge \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2 )^2}\)
  • \(\vert{x_1x_2 + y_1y_2}\vert \le \sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}\) (Bất đẳng thức Bunhiacopxki).

Tham khảo thêm tạiBất đẳng thức véc tơ

IV. Ứng dụng bất đẳng thức vecto

  • Ứng dụng để giải phương trinhd, bất phương trình, hệ phương trình

Để làm được bài tập dạng này thì phải biến đổi phương trình đã cho sau đí xét các vecto có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BĐT vecto trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để đưa ra nghiệm của phương trình đã cho.

  • Ứng dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức

Để làm được dạng bài này ta biến đổi BĐT đã cho sau đó xét các vecto có tọa độ thích hợp rồi áp dụng một trong ba BBDDT vecto trên và xét trường hợp dấu bằng xảy ra để chứng minh bất đẳng thức đã cho.

  • Ứng dụng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để làm được dạng bài này ta cần xét các vecto có tọa độ thích hợp sử dụng một trong ba bất đẳng thức vecto trên để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Trên đây là tổng hợp những thắc mắc kiến thức về chủ đề bất đẳng thức vecto mà các bạn học sinh hay gặp phải, chúng tôi hy vọng rằng bài viết sẽ là nguồn kiến thức hữu ích giúp các bạn thành thạo với dạng bài tập này. Chúc các bạn đạt được điểm số cao!

Có thể bạn quan tâm