Tổng hợp lý thuyết và bài tập đường tiệm cận của hàm số

Ngay từ các lớp dưới các bạn cũng đã làm quen dần với khái niệm đường tiệm cận nhưng với ở mức độ đơn giản và dễ dàng. Những đến lớp 12 thì kiến thức đã được nâng cao lên nhiều và được sử dụng vào các dạng bài tập khác nhau, cũng là một phần kiến thức quan trọng có trong bài thi trung học phổ thông quốc gia mỗi năm. Các bạn học sinh hãy nắm chắc kiến thức để có một kết quả làm bài tốt nhất

I. Tiệm cận là gì

Tiệm cận được hiểu là hai đường không ngừng đi sát lại gần nhau nhưng không bao giờ gặp nhau

II. Tiệm cận đứng

Đường thẳng \(x=x_o\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu tồn tại ít nhất một trong các điều kiện:

\(\lim_{x\rightarrow x_o^-} =+\infty ; \lim_{x\rightarrow x_o^+}=+\infty \)

\(\lim_{x\rightarrow x_o^-} =-\infty ; \lim_{x\rightarrow x_o^+}=-\infty \)

III. Tiệm cận ngang

Đường thẳng \(y=y_o\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) =y_o ; \lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=y_o\)

IV. Tiệm cận xiên

Đường thẳng \(y =ax+b\) được gọi là tiệm cận xiên của hàm số \(y = f(x)\) nếu 

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }[f(x)-(ax+b)]=0 \) hoặc \(\lim_{x\rightarrow -\infty }[f(x)-(ax+b)]=0 \)

Muốn tìm a, b nhanh thì hãy áp dụng công thức sau:

\(a= \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{f(x)}{x};b= \lim_{x\rightarrow +\infty } [f(x)-ax]\)

Hoặc \(a= \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{f(x)}{x};b= \lim_{x\rightarrow -\infty } [f(x)-ax]\)

( Nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang )

IV. Cách tìm tiệm cận của các đường tiệm cận

+ Cách tìm tiệm cận ngang và cách tìm tiệm cận đứng

\(\)\(- \lim_{x\rightarrow \pm +\infty }f(x)\Rightarrow TCN\)

\(- \lim_{x\rightarrow x_o^ \pm }f(x)\Rightarrow TCD\)

Lưu ý: \(x_o\) thường là một nghiệm của mẫu

+ Cách tìm tiệm cận xiên

Cách 1: Viết lại hàm số dưới dạng \(y = ax+ b + g(x)\)

\(\lim_{x\rightarrow \pm +\infty }[y-(ax+b)] = 0 \Rightarrow TCX\)

Cách 2: Tính \( a= \lim_{x\rightarrow \pm }\frac{f(x)}{x} \) và \(b =\lim_{x\rightarrow \infty }[f(x)-ax] \Rightarrow TCX\)

V. Một số dạng trắc nghiệm bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số 

Bài 1: Cho hàm số \(y = \dfrac{mx+4}{x+m}\) (Cm). Kết luận nào sau đây đúng:

A. Khi m = 2 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận

B. Khi \(m \neq 2\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận

C. Với mọi m thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang

D. Khi \(m \neq \pm 2\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang

Bài 2: Số đường tiệm cận của hàm số \( y = \dfrac{\sqrt{x^2+2x}}{x-2}\) là:

A. 1                                                         B.  2                                                    C.  0                                                  D.   3

Bài 3: Cho ba hàm số:

(I) \(y = \dfrac{5x}{2-x}\)                                               (II): \(y =\dfrac{x^2}{x+2}\)                                                   (III): \( y = \dfrac{x-2}{x^2-3x+2}\)

Tìm tiệm cận của hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận?

A. Chỉ I                                             B. Chỉ II                                                C. Chỉ I và II                                       D. Chỉ I và III

Bài 3: Cho hàm số \(y = \dfrac{\sqrt{x^2-2x+6}}{x-1}\) và \( y = \dfrac{x^2-4x+3}{x^2-9}\). Tìm tiệm cận của hàm số chứa căn trên của đồ thị hàm số là:

A. 3                                             B. 4                                       C.  5                                                 D.  6

Bài 4:  Cho hàm số y = (3x + 1)/(1 – 2x). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y= -3/2
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Bài 5:   Cho hàm số \(y = (x^2+2x-3)(1-x^2)\) có đồ thị (C). Kết luận nào sau đây là đúng?
A. (C) có 2 đường tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang
B. (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = -1 và tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
C. (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 và tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
D. (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = -1 và tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm một số bài tập có lời giải chi tiết tại đây:

Bài 3 trang 43 SGK Giải tích 12

Bài 58 trang 56 SGK Giải tích 12

Bài 3 SGK trang 61 Giải tích 12

Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

 Hi vọng rằng những kiến thức về đường tiệm cận mà chúng tôi đem đến sẽ giúp ích được các bạn thật nhiều trong quá trình học tập. Không thể tránh khỏi những sai sót trong quá trình thực hiện nên rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các bạn đọc để chúng tôi hoàn thiện hơn. Chúc các bạn học tập tốt