Bộ công thức về BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC không thể bỏ lỡ

BỘ CÔNG THỨC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC KHÔNG THỂ BỎ LỠ

Bài tập hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về một dạng lý thuyết mới, được sử dụng trong chứng minh tam giác và các dạng bài tập chứng minh hình học liên quan. Đó chính là bất đẳng thức về tam giác, đây là một trong những lý thuyết hệ quả quan trọng. Trong giải tích toán học, bất đẳng thức thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đó. Chúng ta thường áp dụng hệ quả củ bất đẳng thức tam giác để làm rõ các vấn đề liên quan đến chứng minh cả về hình học và đại số. Vậy công thức này thực chất là như thế nào, hãy cùng chúng tôi tìm hiểu nhé!

I. Định nghĩa

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh còn lại.

Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric.

II. Mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác

    1. Tính chất:

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại

Tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là AB, BC, AC. Ta có:

\(\left | AB - AC \right | < BC < \left | AB + AC \right | \)

    2. Hệ quả

Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ luôn bé hơn độ dài cạnh còn lại.

Với tam giác ABC, ta có:

\(AB>AC-BC\)

\(BC>AB-AC\)

\(AC>AB-BC\)

    3. Lưu ý

Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu và bé hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

III. Chứng minh bất đẳng thức tam giác

Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AC. Trong tam giác BCD, ta sẽ so sánh BD với BC.
Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên
\(CB < CA < CD \ (1)\)
Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên
\(CA=DA\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :

\(CB < DA < CD \ (3)\)
Trong tam giác BCD, từ (3) suy ra :
\(AB + AC = BD > BC\)(điều phải chứng minh)

IV. Dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1: Biết độ dài 2 cạnh của tam giác tính cạnh còn lại

Ví dụ: Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7cm và 2cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của cạnh ấy là một số tự nhiên lẻ

Đáp án: Gọi độ dài cạnh còn lại là x (cm).

Theo bất đẳng thức tam giác: 7 - 2 < x < 7 + 2 hay 5 < x < 9. Mà x là số tự nhiên lẻ nên x = 7.

Vậy cạnh còn lại bằng 7cm.

Dạng 2: Chứng minh 3 cạnh bất kì tạo nên một tam giác

Ví dụ: Chứng minh bộ ba đoạn thẳng sau là độ dài ba cạnh của tam giác: 3cm, 4cm, 5cm

Đáp án: Nhận thấy 4 -3 < 5< 4 + 3

Thỏa mãn là bất đẳng thức tam giác. Vậy 3 cạnh với độ dài lần lượt là 3cm, 4cm, 5cm tạo nên một tam giác (đpcm)

Một số bài tập mẫu liên quan

Bài 1: Cho và một điểm O nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: \(OA + OB + OC > \dfrac{AB+AC+BC}{2}\)

Đáp án: Áp dụng bất đẳng thức tam giác lần lượt cho:

Tam giác OAB ta có: OA + OB > AB (1)

Tam giác OAC ta có: OA + OC > AC (2)

Tam giác OBC ta có : OB + OC > BC (3)

Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được: 2(OA + OB + OC) > AB + AC + BC Suy ra: \(OA + OB + OC > \dfrac{AB+AC+BC}{2}\)(đpcm).

Bài 2: Cho tam giác ABC ,điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Đáp án: Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho:

Tam giác ADB ta có : AD < AB + BD (1)

Tam giác ADC ta có : AD < AC + CD (2)

Cộng theo vế (1),(2) ta có: \(2AD < AB + AC + (BD + DC) \leftrightarrow 2AD < AB + AC + BC \leftrightarrow AD <\dfrac{AB+AC+BC}{2}\)(đpcm)

Bài 3: Cho . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng: \(AM <\dfrac{AB+AC}{2}\)

Đáp án : Lấy D sao cho M là trung điểm AD  nên ta có \(\Delta AMB=\Delta BMC\)

Ta có AB = CD

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ACD ta có : AD < AC + CD nên AD < AC + AB. Do AD = 2AM nên 2AM < AC + AB

\(\leftrightarrow AM<\dfrac{AC+AB}{2}\)(đpcm)

V. Phương pháp luyện tập các dạng liên quan đến bất đẳng thức tam giác

Được đánh giá là một phần học đặc biệt trong chương trình học Trung học cơ sờ và cả trung học phổ thông. Cách tốt nhất để ứng dụng tốt các công thức này vào trong giải bài tập là cần có sự luyện tập thường xuyên. Cách tốt nhất là làm các bài tập trong sách giáo khoa liên quan đến bất đẳng thức tam giác, đây là một trong những cách truyền thống được khác nhiều bạn học sinh lựa chọn và luôn đem lại kết quả cao trong học tập, từ đó sẽ rút ngắn được thời gian làm bài và nhớ được các công thức một cách dễ dàng hơn. Muốn học tốt nó thì trước tiên bạn phải nắm bắt được những kiến thức nền tảng và các bài tập giải, các bạn tham khảo thêm tại Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác - Toán lớp 7

Ngoài ra, để nâng cao điểm số và khả năng giải các bài tập ở các cấp cao hơn thì các bạn nên tham khảo các bài tập dạng nâng cao để hình thành nên tư duy sắc bén không chỉ trong các bài tập liên quan đến bất đẳng thức tam giác mà còn các bài tập dạng liên quan khác. Một cách khác mà được các bạn học sinh khá ưa chuộng đó là hoạt động theo nhóm, thông qua quá trình trao đổi sẽ đem lại hiệu quả áp dụng cao hơn. Để biết mở rộng thêm kiến thức hình học liên quan mời các bạn xem thêm:

Bài 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - Toán lớp 7

Bài 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Toán lớp 7

Bài 4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Toán lớp 7

Nhằm giúp bạn đọc theo dõi dễ dàng hơn, chúng tôi đã tổng hợp một bộ kiến thức hình học cần thiết, thường gặp được áp dụng trong các bài kiểm tra và bài thi, để hiểu rõ hơn vui lòng tham khảo tại Công thức Toán học, các bạn xem phần lý thuyết liên quan đến hình học.

Trên đây là toàn bộ công thức về bất đẳng thức tam giác cần thiết giúp bạn hoàn thành tốt bài kiểm tra và bài thí. Nắm chắc được lý thuyết chung và các hệ quả liên quan chúng tôi tin chắc rằng bài viết sẽ là một sự lựa chọn sáng suốt dành cho bạn đọc. Chúc các bạn đạt được điểm số cao!