Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam...

D

- Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có tam giác ABC vuông tại A góc $\widehat{ABC}={30}^o$ và BC = a, suy ra AC = $\frac{a}{2}$, AB =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)\\ CA\perp AB\end{array}\Rightarrow AC\right.\perp \left(SAB\right)$, suy ra tam giác SAC vuông tại A.

Suy ra $SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác SAB có $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}, AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}, SB=a$. Từ đó sử dụng công thức Hê-rông ta tính được $S_{SAB}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}\Rightarrow SH=\frac{2S_{SAB}}{AB}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2AB}{3}$.

Suy ra d(H,(SBC))$=\frac{2}{3}d\left(A,\left(SBC\right)\right).$Từ H kẻ $HK\perp BC$.

Kẻ $HE\perp SK\Rightarrow HE\perp \left(SBC\right)$

Ta dễ tính được $HK=\frac{a\sqrt{3}}{6}\Rightarrow d\left(H,\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{9}.$

Vậy $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{3}{2}d\left(H,\left(SBC\right)\right)=\frac{3}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{9}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.