Cho hình chóp S. ABCD có đáy là...

B

- Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD và tam giác BHD.

Ta có HB=$\frac{a\sqrt{2}}{2}$,$$\begin{gathered} HD=\sqrt{H{C}^2+D{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+a^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}, \\ BD=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3} \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Cô sin, ta có 

$\cos \widehat{BHD}=\frac{{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{3a^2}{2}}-3a^2}{2.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin \widehat{BHD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Diện tích tam giác BHD là

$S_{∆BHD}=\frac{1}{2}.BH.HD.\sin \widehat{BHD}=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

Do đó $r=\frac{HB.HD.BD}{4S}=\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{6}}{2}}.a\sqrt{3}}{4.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{4}}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD và M là trung điểm SH. Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD tại E. Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm.

Ta có: $R=\sqrt{r^2+M{H}^2}=\sqrt{r^2+\frac{S{H}^2}{4}}=\sqrt{\frac{9a^2}{8}+\frac{a^2}{8}}=\frac{\sqrt{5}a}{2}$