Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của S...

C

- Hướng dẫn giải

Ta có \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}}\)

\(\begin{array}{l}
AI = 2ID \Rightarrow AI = \frac{2}{3}AD = \frac{{2a}}{3}\\
 \Rightarrow BI = \sqrt {A{I^2} + A{B^2}}  = \frac{{a\sqrt {13} }}{3}
\end{array}\)

Xét tam giác vuông SB, \(S{I^2} + I{B^2} = S{B^2}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow SI = \sqrt {S{B^2} - I{B^2}} \\
 = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 7 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt {13} }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {11} }}{6}
\end{array}\)

Do đó \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}}\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {11} }}{6}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{18}}\)