Cho dãy số \(\left( {{u_n}}...

A

- Hướng dẫn giải

Đặt $\tan \alpha = 2$. Ta có $\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt 2 - 1$. Suy ra ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + \tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{8}.{u_n}}}$

Có $= \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{8}.\tan {u_n}}} = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{8}} \right)$.

Bằng quy nạp, ta chứng minh được ${u_n} = \tan \left[ {\alpha + \left( {n - 1} \right)\frac{\pi }{8}} \right]$.

Vậy ${u_{2018}} = \tan \left( {\alpha + \frac{{2017\pi }}{8}} \right) = \tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{8}}} = 7 + 5\sqrt 2$.