Cho \( A = \frac{{2\sqrt x...

A

- Hướng dẫn giải

Ta có:

\( A = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\left( {2\sqrt x + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\\ \to 2 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} < 2 (1) \end{array}\)

Lại có: \(\begin{array}{l} \sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}\\ \to 2 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \ge 2 - \frac{5}{2} \Leftrightarrow A \ge - \frac{1}{2}(2) \end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có: 

\( - \frac{1}{2} \le A < 2\) mà A∈Z⇒A∈{0;1}

+ Với 

\( A = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0 \Rightarrow 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)\)

+ Với 

\( A = 1 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow 2\sqrt x - 1 = \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)\)

Vậy với \( x = \frac{1}{4};x = 9\) thì A đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của x thỏa mãn đề bài.