Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông AB...

C

- Hướng dẫn giải

Gọi M, N và P lần lượt là các trung điểm của AB, CD và BI. Ta có

\(\overrightarrow {AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {KG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = \frac{1}{{12}}A{D^2} - \frac{1}{{12}}A{B^2} = 0\) vì AB = AD và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Đồng thời

\(A{K^2} = \frac{5}{{18}}A{B^2} = K{G^2} = \frac{5}{{18}}A{B^2}\). Do đó tam giác AKG vuông cân tại K nên:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = 0\\A{K^2} = G{K^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 9\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 13\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{9 - 2a}}{3}\\13{a^2} - 78a = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{9 - 2a}}{3}\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 1\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9\end{array}\)