Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các c...

C

- Hướng dẫn giải

Gọi mặt cầu đi qua 6 đỉnh của lăng trụ là (S) tâm I , bán kính R

Do \(IA = IB = IC = IA' = IB' = IC' = R \Rightarrow \) hình chiếu của I trên các mặt \((ABC),\,\,(A'B'C')\) lần

lượt là tâm O của \(\Delta \,ABC\) và tâm O’ của \(\Delta \,A'B'C'\)

Mà ABC.A'B'C' là lăng trụ đều \( \Rightarrow \) I là trung điểm của OO’ \( \Rightarrow OI = \frac{{OO'}}{2} = \frac{{AA'}}{2} = \frac{a}{2}\)

Do O là tâm tam giác đều ABC cạnh a \( \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Trong tam giác vuông OAI có \(R = IA = \sqrt {I{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)

Diện tích của mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{21{a^2}}}{{36}} = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}\)