Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \left( {e...

C

- Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\left( {e + 1} \right)x\, = \left( {{e^x} + 1} \right)x \)

\(\Leftrightarrow x\left( {{e^x} + 1 - e - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {{e^x} - e} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Khi đó, diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{e^x} + 1} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|\,dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}x - ex} \right|\,dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}x} \right)} \,dx\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{e{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}xdx} \end{array}\)

Đặt \(I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx} \)

Ta có: \(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx}  = \int\limits_0^1 {x\,d\left( {{e^x}} \right)} \\\,\,\, = \left( {x.{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx\\\,\,\, = e - \left( {{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\end{array}\)

Khi đó: \(S = \dfrac{e}{2} - 1 = \dfrac{{e - 2}}{2}.\)