Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m ...

C

- Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
{6^x} + \left( {3 - m} \right){.2^x} - m = 0\\
 \Leftrightarrow {6^x} + {3.2^x} = m\left( {{2^x} + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow m = \frac{{{{3.2}^x} + {6^x}}}{{{2^x} + 1}}\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Đặt \(t = {2^x} \Leftrightarrow x = {\log _2}t \Rightarrow {6^x} = {6^{{{\log }_2}t}}\)

Và với \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {1;2} \right)\).

Khi đó \(m = f\left( t \right) = \frac{{3t + {6^{{{\log }_2}t}}}}{{t + 1}}\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3t + {6^{{{\log }_2}t}}}}{{t + 1}}\) trên (1;2)

\(f'\left( t \right) = \frac{{3t + {6^{{{\log }_2}t}}\left[ {t.\left( {\ln 3 - 1} \right) + \ln 3} \right]}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}.t}} > 0;\forall t \in \left( {1;2} \right)\)

Nên hàm số f(t) là hàm số đồng biến trên (1;2). Do đó để (*) có nghiệm thuộc khoảng  khi và chỉ khi (I) có nghiệm thuộc (1;2)

\(\Rightarrow f\left( 1 \right) < m < f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2 < m < 4\)

Vậy \(m \in \left( {2;4} \right)\) là giá trị cần tìm.