Đầu năm 2016, Curtis Cooper và các cộng sự tại nhó...

D

- Hướng dẫn giải

+) Xác định số chữ số của \(M + 1 = {2^{74207281}}\) 

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn \({10^n} \le {2^{74207281}} < {10^{n + 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{10^n} \le {2^{74207281}}\\
{10^{n + 1}} > {2^{74207281}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n \le \log \left( {{2^{74207281}}} \right)\\
n + 1 > \log \left( {{2^{74207281}}} \right)
\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
n \le 74207281.\log 2 \approx 22338617,5\\
n > 74207281.\log 2 - 1 \approx 22338616,5
\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 22338617\) 

Vậy \(M + 1 = {2^{74207281}}\) có n + 1 = 22338618 chữ số

+) Xác định số chữ số của \(M = {2^{74207281}} - 1\) 

Nhận xét: Do M + 1 là số có 22338618 chữ số nên M hoặc có 22338618 chữ số hoặc có 22338617 chữ số.

M có 22338617 khi và chỉ khi \(M + 1 = {10^{22338617}},\) tức là \({2^{74207281}} = {10^{22338617}} \Leftrightarrow {2^{51868664}} = {5^{22338617}}:\) vô lý do 2 là số chẵn và 5 là số lẻ

Vậy \(M = {2^{74207281}} - 1\) là số có 22338167 chữ số