Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a....

A

- Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA} = {60^o}\).

Ta có \(SA = AB \cdot \tan {60^o} = a\sqrt 3 .\)

Gọi K là trung điểm của AD. Suy ra \(BK\,{\rm{//}}\,DM\).

Do đó \({\rm{d}}\left( {DM,SB} \right) = {\rm{d}}\left( {D,\left( {SBK} \right)} \right)\).

Mà \(\frac{{{\rm{d}}\left( {D,\left( {SBK} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right)}} = \frac{{DK}}{{AK}} = 1\) nên \({\rm{d}}\left( {DM,SB} \right) = {\rm{d}}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right)\). (1)

Tứ diện ASBK có \(SA \bot AB;\;SA \bot AK;\;AB \bot AK\).

Suy ra tứ diện ASBK vuông tại A.

\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\rm{d}}^2}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right)}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\)

 \( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)(2)

Từ (1), (2) suy ra \({\rm{d}}\left( {DM,SB} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).