Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông t...

D

- Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của CD, H là trung điểm của BD 

\(\Delta BCD\) có \(BM = \frac{1}{2}DC \Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại B

\(\begin{array}{l}
BD = a\sqrt 2 ,BC = \sqrt {D{C^2} - B{D^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow S{}_{\Delta BCD} = \frac{1}{2}.BD.BC = {a^2}\\
{V_{SBCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta BCD}} \Rightarrow SH = \frac{{3{V_{SBCD}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{2}
\end{array}\)

+) Ta có: \(AH//\left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right)\) 

+) Kẻ \(HK \bot SB.\) 

\(\left. \begin{array}{l}
BC \bot SH\\
BC \bot BD
\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SHB} \right) \Rightarrow BC \bot HK\) 

Do đó \(HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HK\) 

\(\Delta SHB\) có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{4}{{6{a^2}}} + \frac{4}{{2{a^2}}} = \frac{{16}}{{2{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 6 a}}{4} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)