Cho hình

B

- Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi D là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), suy ra $SD\perp \left(ABC\right)$.

Ta có $SD\perp AB$ và $SB\perp AB\left(gt\right)$, suy ra $AB\perp \left(SBD\right)\Rightarrow BA\perp BD$.

Tương tự có $AC\perp DC$ hay tam giác ACD vuông ở C.

Dễ thấy $∆SBA=∆SCA$ (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra SB=SC. Từ đó ta chứng minh được $∆SBD=∆SCD$ nên cũng có DB=DC.

Vậy DA là đường trung trực của BC, nên cũng là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$.

Ta có $\widehat{DAC}={30}^o$, suy ra $DC=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) là $\widehat{SBD}={60}^o$ suy ra $\tan \widehat{SBD}=\frac{SD}{BD}\Rightarrow SD=BD\tan \widehat{SBD}=\frac{a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=a$
Vậy$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{∆ABC}.SD=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$