Cho nửa đường tròn đường kính AB, dây MN có độ dài...

D

- Hướng dẫn giải

Gọi H là chân đường cao kẻ từ I đến cạnh AB.

Khi đó ta có:

${S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB$

Ta có AB là đường kính $⇒S_{IABMax}⇔IH_{Max}⇔$ H trùng với O.

Khi H trùng với O thì OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ⇒ ΔIAB cân tại I.

Lại có $\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác ΔABC ⇒MN//BC.

Xét ΔMON có MO=ON=MN=R ⇒ ΔMON là tam giác đều.

Tam giác IAB cân tại I có MN là đường trung bình ⇒ M và N lần lượt là trung điểm của AM và AB.

Lại có O là trung điểm của AB ⇒ OM;ON cũng là hai đường trung bình của tam giác IAB.

⇒ $\left\{ \begin{array}{l} ON//IM\\ OM//IN \end{array} \right.$ 

⇒ tứ giác IMON là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo OI và MN vuông góc với nhau (do  $MN//AB;OI \bot AB$)

⇒IMON là hình thoi $⇒MI=IN=OM=R⇒IA=2IM=2R.$

Xét tam giác AOI vuông tại O ta có: 

$OI = \sqrt {I{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3$

$\Rightarrow {S_{IAB}} = \frac{1}{2}OI.AB = \frac{1}{2}.R\sqrt 3 .2R = {R^2}\sqrt 3$