Cho hàm số bậc bốn f(x) có bảng biến thiên như sau...

A

- Hướng dẫn giải

Ta chọn hàm \(f\left( x \right) = 5{x^4} - 10{x^2} + 3\)

Đạo hàm

\(g'\left( x \right) = 4{x^3}{\left[ {f\left( {x + 1} \right)} \right]^2} + 2{x^4}f\left( {x + 1} \right)f'\left( {x + 1} \right) = 2{x^3}f\left( {x + 1} \right)\left[ {2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right)} \right]\)

Ta có:

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{x^3}f\left( {x + 1} \right) = 0\\
2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
f\left( {x + 1} \right) = 0\\
2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0
\end{array} \right.\)

\(f\left( {x + 1} \right) = 0(*) \to 5{\left( {x + 1} \right)^4} - 10\left( {x + 1} \right) + 3 = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
x + 1 \approx 1,278\\
x + 1 \approx 0,606\\
x + 1 \approx  - 0,606\\
x + 1 \approx  - 1,278
\end{array} \right.\)

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0.

\(\begin{array}{l}
2f\left( {x + 1} \right) + xf'\left( {x + 1} \right) = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{t = x + 1} 2\left( {5{t^4} - 10{t^2} + 3} \right) + \left( {t - 1} \right)\left( {20{t^3} - 20t} \right) = 0\\
 \to 30{t^4} - 20{t^3} - 40{t^2} + 20t + 6 = 0 \to \left[ \begin{array}{l}
t \approx 1,199\\
t \approx 0,731\\
t \approx  - 0,218\\
t \approx  - 1,045
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (*)

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9.