Cho hàm số 

Câu hỏi: Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục, không âm trên đoạn $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, thỏa mãn $f\left(0\right)=\sqrt{3}$và $f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=\cos x.\sqrt{1+f^2\left(x\right)}$, $\forall x\in \left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số $f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$.

A. $m=\frac{\sqrt{21}}{2}$, $M=2\sqrt{2}$.

B. $m=\frac{5}{2}$,$M=3$

C. $m=\frac{\sqrt{5}}{2}$, $M=\sqrt{3}$.

D. $m=\sqrt{3}$, $M=2\sqrt{2}$.