Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách t...

B

- Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

$\Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right)$

Ta có $d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = 3d\left( {H,\left( {BCD} \right)} \right)$

Kẻ $HK\bot DM$. Ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BC \bot AM\\ BC \bot DH \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {DAM} \right)\\  \Rightarrow BC \bot HK \end{array}$

Mà $HK \bot DM \Rightarrow HK \bot \left( {BCD} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\  \Rightarrow DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}$

Ta lại có: 

$\begin{array}{l} HM = \frac{1}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\  \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{D^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}}\\  \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt 6 }}{9}\\  \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = 3.\frac{{a\sqrt 6 }}{9} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}$